前面介绍了函数连续性的定义、不连续性的类型以及相应的例子。 我们知道函数具有单调性、最优性、奇偶性等，那么是否也存在函数连续性的性质，我们来探讨一下函数连续性的性质。
1.连续函数的局部性质
如果函数f在x_{0}处连续，则f在点x_{0}有极限，极限值等于函数值。
定理1：（局部有界性）如果函数f在点x_{0}处连续，则f在某个U(x_{0})上有界。
定理2：（局部符号保持）若函数f在点x_{0}处连续，且0(orf(x_{0})>0(或 ，则对于任意正数r，存在一定的U(x_ {0} ) 使得对于所有 x\in U(x_{0}) r(或 f(x)f(x)>r(或 f(x)
（注：具体应用保数时，常取r=\frac{1}{2}f(x_{0})。那么当0">f(x_{0})>0时，有一定的U (x_{0})，因此它内部有 \frac{1}{2}f(x_{0})">f(x)>\frac{1}{2}f(x_{0}) ，这里遇到需要使用本地号码保存的问题时，一定要注意r)的选择
定理3：（四次算术运算）如果函数f和g在点x_{0}处连续，则f\pm g 。 f*g .f/g (g(x_{0}\ne0)) 也都在 x_{0} 处连续。
该定理的证明比较简单，这里不再进行。
定理4：（复合函数的连续性）若函数f在点x_{0}连续，g在点u_{0}连续，u_{0}=f(x_{0})，则复合函数g\ circ f 在点 x_{0} 处连续。
证明：因为函数在点 u_{0} 连续
因此，对于任何正数 \ ，都存在 0,st 而 |u-u_{0}|
