数学中微分的定义：由函数B=f(A，得到两个数集A和B。在A中，当dx接近0时，函数在dx和dx处的极限的乘积称为函数在dx处的微分，微分的中心思想是无限除法，微分是函数变化的协变线性主部分，对于函数集合F中的每个函数f，都有一个微分 df = omega at x_0 \in X 对应于 it ，这意味着一个映射，表示为

\begin{align} d: F \ U_{x_0}, f \ \omega =df \end{align}=\frac{df}{dx}dx=f'(x)dx，这是一个递归定义，称为微分算子，其中U_{x_0}是函数集合F在映射d下的像，即遍历f\in F得到的Ω集合。即：dF=f(x)dx。

在数学分析的范围内，线性映射的近似是整个数学分析的灵魂。 微分学是线性映射的一种。 设D\\{R}^n是一个开集，f: D\to\{R}^m就是我们考虑的函数。 设x_0\in D，如果存在线性映射A，使得对于x_0的某个邻域内的所有点x，

f(x)-f(x_0)=A\cdot(x-x_0)+o(||x-x_0||) 则称为线性映射\text{d}f(x_0)=\omega:\{ R} ^n\to\{R}^m, h\ Ah 是 f 在 x_0 处的微分。 是 f 在 x_0 处的微分，

即：df(x_{0})=\frac{df}{dx}dx=f'(x)dx。 dx=Δx\,\lim_{\Delta x \ 0}{x-x_{0}}=0，微分邻域内的点和基点等价(x+dx\simeq x)，在数学上，一个多-变量 函数的偏导数是在保持其他变量不变的情况下相对于其中一个变量的导数（与全导数相反，全导数允许所有变量变化）。 偏导数在矢量分析和微分几何中很有用。 偏微分符号 ∂ 是微分 (.

在多元函数中，函数对每个自变量的导数是偏导数。 因此，每个自变量的微分是偏微分。 例如：z=f(x,y)，则z偏于x，即z对x的导数，称为z对x的偏导数。 在这种情况下，y被视为常数。 z 对 y 的偏导数可以用同样的方法求出。 偏微分是偏导数乘以 dx 或 dy。 全微分是两个偏微分之和。 随着物理科学中研究现象的广度和深度的扩大，偏微分方程的应用范围也越来越广。 从数学本身来看，偏微分方程的解推动了数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各个方面的发展。 从这个角度来看，偏微分方程成为数学的中心。 现代物理、力学和工程技术的发展产生了许多新的非线性问题，往往会引发上述方程以外的相关问题，称为混合方程、简并方程和高阶偏微分方程。 这些问题通常非常复杂和困难，迄今为止一直是一个重要的研究课题。