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1. 5.1 定义 如果存在定义的邻域，并在一点处设函数,),( )( 00 , 0 如果连续点的连续性在一点处，则称为函数 fxxxf- - , )( 00第五节 函数连续性 连续性函数)(-)(00 +=对应函数的变化量-0 xxx =自变量的变化量 5.1 函数连续性的概念： )(0 处的右连续性为 xxf)( )(lim 00 x) (0 xf: )(0 在 xxf 处左侧连续)()(lim 00 在右侧连续)(0 xxf 在右侧连续)(0 xxf 在左侧连续，如果每个点在区间内都是连续的)(Ixf5.2.定义。)(, I )( 被记录为在区间内连续，则

2. 打电话。 , , 在每个点的右端点处左侧连续，在左端点处右侧连续。 ，也可以是无限区间或有限区间。 注：“区间内连续”是指区间为闭区间时的区间。 ，三． )()(在其定义域内连续的有理分式函数，只要有理分式函数 0)( , )()()( (1)0 =示例)()(lim 00 . ) , ( cos)( sin)( (2) 在区间和函数中连续。)0)( )()(),()(),()(,)( ),( xf then if. 1 . 5定理 5.2 5.2 初等函数的连续性 初等函数的连续性（连续性函数

3、数的四次算术运算）（连续函数的四次算术运算）），（cos sin 在 sum xx 中连续，（2）如例所示；2k 秒，tan 在 xxx 中连续。连续三角函数在它们的定义域。 kc , cot 在 xscxx, )( , )( 处连续，且在该点连续。2.5 定理， )( 0，则复合函数在该点连续，函数 uuufy ) )(g( 0在 xxxfy=(复合函数连续性定理)(复合函数连续性定理))(复合函数极限运算=)(lim)(lim,)(,),( 00)(00 处也是连续的 那么当 和当,)( lim,)(lim),(),(

4. 假设定理 3.2)。 (lim()()(lim 000 =1 ( ) C , () , ( ) xxyyf 如果 和 严格单增或单减，则其反函数在相应的区间内。3 .5 定理|( ), () .xy yf x xI 存在且单增或单减且连续 (反函数连续性定理) (反函数连续性定理) 思考: 两个不连续函数复合后, 是否一定不连续? 思考: 两个不连续函数一定是不连续的吗复合后不连续？ R. C 0，例如幂函数:), (xy =, := 由于证明。ln 与 复合为 =( ) . , 0 2 . 5 连续已知定理 += xy()0

5. 1( )log(0,)xaf xaaaf xx 例：(and)在(-,)上连续，所以在(-,)上连续。 1, 1, 2,2 sin (1) 在区间内单增连续，所以上式在 xyxy 内单增连续。 1 , 1 , , 0 cos (2) 上一层在区间内单次递减连续，所以上一层在xyxy 上单次递减连续。 ，内层是单次递减且在 xy 上连续的； 内层是单一递增且连续的，在同一理论中， ，xy。 内连续反三角函数在其定义域内 (1) 该三角函数在其定义域内连续。 , ) 1 , 0( (3) 指数函数 aaayx 中单调且连续 基本初等函数的连续性 (2 ) 反三角函数在其定义域内连续。 , 0 ) 1 , 0( log (4)

6. 对数函数aaxya 内部单调且连续。 , (5) 对数函数 aaxya 在其域内内部连续，无论其定义的幂函数的值如何。 总之，可以得出结论，基本初等函数在其定义域内是连续的。 所有初等函数在其定义区间内都是连续的。定义区间是指定义域所包含的区间。 定义区间是指定义域所包含的区间。 .1. 初等函数仅在其定义区间内连续。 初等函数仅在其定义区间内连续，不一定在其定义域内连续。 连续不一定在其域内连续； 例如， 1cos xy,4,2, 0: xD 在这些孤立点的邻域中没有定义。,)1(32 xxy, 1, 0: xxD 并且在没有定义点的邻域中也没有定义0 点附近。), 区间内 1 上的连续函数 区间内函数 Note Note

7. 注2. 求初等函数极限的方法。 求初等函数极限的方法。 替代法。 代入法。)()()(定义区间，定义区间，几个公共极限，几个公共极限(1) 11. lim ( )ln12 . limln ( )(1)13. (1)lim11 特殊 特殊 0)(, )()(幂指函数,)(lim, 0)(lim) 1 (=假设。)(lim)(lim)( lim)()(ln)()(00lim)(证书)(ln)(林0）

8. (limln)(lim)(lnlim)( .)(lim)(,)(),()2(0 连续，如果 xxgxf.)(0)( 连续，则 (1 sin )xxx 示例。找到以下极限 (1) (cos1)xxxex(2):)(0 条件必须在三个地方连续满足 在点函数函数 xxf 处的点必须连续满足;)()1(0 有定义 有定义处处 xxf 点；) (lim) 2 （0 存在 xfxx）。 () (lim) 3 (00)。 ()()、()(、00或不连续断点。不连续、连续、点统称为点或点或不连续。

9. 如果一个函数不是处处连续的，那么就说一定存在一个函数不满足上述三个条件。 如果只有.3 5.3 的功能中断点及其分类。 中断点及其功能分类。 1. 跳跃不连续点。 跳跃间断点。)(),0()0(,)(0000的跳跃间断点。函数的跳跃间断点称为点规则。我们称该点但存在右极限。右极限和右极限都存在。右极限在左边的点在该点的左边。如果如果例如.0,0,1,0,)（连续性在at的连续性。讨论函数。讨论函数的解。解决方案，0） 00( f, 1)00( f),00()00( ff.0 是函数 xoxy2 的跳转不连续点。该不连续点可以去除。)()( ),()(

10. lim 的可去除间断点)(00000)是一个函数。 如果函数的定义是点的定义，那么它就称为点。 点的定义是，一点没有确定的位置。 某点或但的极限是存在的。 存在于点 at 点 if if .1, 1,11, 10, 1,2) (连续性 at (连续性 at at) 讨论函数 讨论函数 1xy2 解, 1)1( f, 2)01 ( f, 2) 01( f2)(lim1 xfx),1(f.0是函数的可去除不连续点，是函数可去除不连续点x，注意，不连续点是可以去除的，只要改变不连续点或添加，函数可以消除不连续性，只要改变或补充不连续处函数的定义号的定义，该点就可以成为连续点，如上例2)1

11.（如果f为0.1,1,1,10,2）（如果处处连续，则跳跃不连续点和可移除不连续点统称为第一类不连续点。跳跃不连续点和可移除不连续点可移动间断点统称为第一类间断点。特点。在 0 处左极限和右极限都存在。在 0 处左极限和右极限都存在。函数在该点。函数在该点。 . 第二类不连续点是第二类不连续点。）(,) (00)的第二类不连续点是一个函数。 如果是函数，则称为点。 那么它被称为右极限上的点。 至少有一个不存在的权利限制。 左边、左边和点至少有一个不存在。 if 点连续性的例子。 0, 0, 0,1) (在点 oxy, 0 处连续性)00( f,)00( f.1 是函数的第二类不连续点 是函数的第二类不连续点。

12、 x处没有定义。 不存在，xx.0 是第二种类型的不连续点。 这是第二种类型的不连续点。 请注意，不要认为函数的不连续点只是几个单独的点。 不要认为函数的不连续点只是几个单独的点。 可移除类型 可移除类型 第一类不连续点 第一类不连续点 oyx 跳跃类型 跳跃类型 无限类型 无限类型 振荡类型 振荡类型 第二类不连续点 第二类不连续点 oyx0 xoyx0 xoyx0 x22( )(1)xxf xx x 的例子。 讨论函数的连续性并确定不连续点的类型。5.4

13. 5.4 闭区间上连续函数的性质 闭区间上连续函数的性质（有界定理。）（，如果立即存在，假设，）（，baCxf）（xf。，必须在 ba 上有界）5.4（最大值和最小值定理 定理假设，)(，baCxf上一定存在最大值和最小值，)(baxf。最大值和最小值)。()()(，有时使用时，即存在)(max )( )(min)(注：. ) 1 （连续函数，在非闭区间上不一定有最大值或最小值。 , ）2 （非连续函数，不一定有最大值或最小值闭区间上的最小值 ba) (xfy aboyx.0)( ),( =fba 至少存在一个)5.5(

14. 零点定理, )() 1 (, baCxf 假设规则, )0)()( ( )( )()2( 即不同符号和 52-220(-1,1)xx 示例 (1 ) 证明5 二元一次方程至少有一个根：0,10,1( )ff (2) 假设一个连续函数，证明0,1，使得.Mxf)(2mxf)(1. )(, , fba 存在)5.6( 中值定理定理,)(,baCxf 假设),(),(, Mm 是任意的，则 1 , , ( )( )(1)( ).a bfCca bf cf af b 示例。假设, 证明如果 0, 那么, ,( )( ),( )( )( ).a bfCf af bf xf af b 如果 则一定可以获得任意值论 MBm1 2 3 )(xfy baCA