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本文主要是先总结一下书上的定义和知识点，方便复习和背诵重点，同时在最后的分割线之后，在学习定义的过程中补充自己的理解！

欢迎您对不明白的内容进行评论。 稍后我会补充更多理解~谢谢大家的支持(#^.^#)

这实际上就是学习科学的样子。 您需要熟悉每个定义，这样其他人就不会令您失望。

1.假设函数f(x)定义在点x0的某个区域内。 如果自变量的增量△x趋于0，则相应函数的增量△y也趋于0，即\lim_{△x\0}{△y}=\lim_{△x\0} {[f(x+△x)-f(x)]}=0

那么函数 f(x) 被称为在 x0 处连续。

2. 假设函数f(x)定义在x0点的某个区域内，且\lim_{x \ x_{0}}{f(x)}=f(x_{0})，则称为函数f(x) 在 x0 点连续。

这个定义必须满足三个条件：

(1) 函数值f(x0)存在

(2) 极限值\lim_{x \ x_{0}}{f(x)}存在

(3) 极限值\lim_{x \ x_{0}}{f(x)}的值等于f(x)在x0处的函数值。

3、用“ε-δ”语言来定义和描述连续性：假设函数f(x)定义在某个域的x0点处。 如果对于任意给定的正数ε，总存在一个正数δ，使得当|x-x0|＜δ时，总是|f(x)-f(x0)|＜ε成立，则函数f(x ) 被认为在点 x0 处连续。

（解读：其实前半句中|x-x0|<δ相当于之前x趋于x0的第二个点，而后半句中|f(x)-f( x0)|<ε 相当于极限值\lim_{x \x_{0}}{f(x)}=f(x_{0}))

4. 左连续：若\lim_{x \ x_{0}^{-}}{f(x)}=f(x_{0})，则称函数在点x0处左连续，同理它是正确连续的

5、容易知道函数f(x)在x0处连续的充要条件是：f(x)在x0处既右连续又左连续。

6. 区间上的连续函数：如果对于任何给定的 x0∈(a, b)，f(x) 在 x0 中连续，则称 f(x) 在区间 (a, b) 中连续。 如果f(x)在(a,b)内连续，在a点右连续，在b点左连续，则称f(x)在闭区间[a,b]上连续。

7、函数的不连续点：假设f(x)定义在点x0的某个偏心区域内。 如果函数f(x)在x0处不连续，则x0称为函数f(x)的不连续点。

8. 不连续性的分类：

(1)第一类不连续点：如果x0是f(x)的不连续点，并且f(x)存在(相等或不相等)在x0的左右极限处(相等时，几乎不可能取x0)，则x0称为f(x)的第一类不连续点。

① 可以去除不连续点：f(x)在x0的左右极限处存在且相等，称为不连续点（此时只要用分段函数补充x0处的定义即可） ，可得到连续函数）

②跳跃不连续点：在x0的左右极限处f(x)存在且不相等，称为跳跃不连续点。

(2) 第二类不连续点：如果x0是f(x)的不连续点，并且f(x)至少不存在于x0的左右极限之一，则x0称为第二不连续点f(x) 的点。 类间断点。

①无限间断点：f(x)在x0的左右极限中至少有一个无穷大极限，称为无限间断点。

②振荡不连续点：极限值不断变化。

9、连续函数的运算：如果f(x)和g(x)在x0处连续，则

(1) f(x)±g(x)在x0处连续

(2) g(x)·f(x)在x0处连续

(3) 当g(x0)≠0时，f(x)/g(x)在x0处连续

10、复合函数的连续性：假设y=f(u),u=g(x)构成复合函数y=f[g(x)]，若u=g(x)在x0处连续，y=f (u) 在 u0=g(x0) 处连续，则复合函数 y=f[g(x)] 在 x0 处连续。

11、反函数的连续性：若函数y=f(x)在区间I_{x}内单调增（或减）且连续，则其反函数x=φ(y)在相应区间内I_ {y} ={ y|y=f(x), x∈I_{x}} 也是单调递增（或递减且连续）

12.闭区间连续函数的性质

(1)

①极大值定理：假设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，那么f(x)必定获得[a,b]上的最大值和最小值，即有是 x1, x2∈[a , b] 使得 f(x1)=m, f(x2)=M, 并且对于任何 x∈[a, b]

m≤f(x)≤M

②有界性定理：假设函数在闭区间[a,b]上连续，则f(x)必定在[a,b]上有界（因为f(x)必定在m≤f(x)≤M范围内）

(2)

① 零点存在定理：假设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续且f(a)·f(b)＜0，则(a, b)内至少存在一个点 xi ), 使得f( xi)=0, 点 xi 称为函数 f(x) 的零点

② 中值定理：假设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)≠f(b)，且μ在f(a)和f(b)之间 对于任意给定数字，开区间 (a, b) 中至少有一个点 xi，使得 f(xi)=μ

（证明过程其实就是利用零点存在定理来证明f(x)-u至少有一个零点）

推论：闭区间[a,b]上的连续函数f(x)必须获得最小值m和最大值M之间的所有值。