线性函数
1、定义及定义公式：
自变量 x 和因变量 y 具有以下关系：
y=kx+b
那么此时 y 就称为 x 的线性函数。
特别地，当b=0时，y是x的比例函数。 即：y=kx（k为常数，k≠0）
2. 线性函数的性质：
1、y的变化值与x对应的变化值成正比，比例为k，即：y=kx+b（k为任意不为零的实数，b取任意实数）
2. 当x=0时，b是函数在y轴上的截距。
3. 线性函数的图像和性质：
1.方法与图解：通过以下3步
（一）清单；
(2) 抽分；
(3) 连接线可以使线性函数的图像——直线。 因此，要制作线性函数的图形，您只需要知道 2 个点并将它们连接成一条直线即可。 （通常求函数图与x轴、y轴的交点）
2. 性质： (1) 线性函数上的任意点P(x,y)满足方程：y=kx+b。 (2) 一次函数与 y 轴的交点坐标始终为 (0, b)，与 x 轴的交点坐标始终为 (-b/k, 0)。 比例函数的图像总是经过原点。
3． k、b 和函数图像的象限：
当k>0时，直线必须经过第一象限和第三象限，y随着x的增大而增大；
当k<0时，直线必须经过第二象限和第四象限，并且y随着x的增大而减小。
当b>0时，直线必须经过第一象限和第二象限；
当b=0时，直线经过原点
当b<0时，直线必须经过第三象限和第四象限。
特别地，当b=O时，通过原点O(0, 0)的直线表示比例函数的图像。 此时，当k>0时，直线只经过第一象限和第三象限； 当k<0时，直线只经过第二象限和第四象限。
4. 确定线性函数的表达式：
给定点A(x1,y1)； B(x2,y2)，请确定经过A点和B点的线性函数的表达式。
(1) 假设线性函数的表达式（也称为解析表达式）为 y=kx+b。
(2) 因为线性函数上的任意点P(x,y)满足方程y=kx+b。 因此可以列出2个方程： y1=kx1+b …… ① 和 y2=kx2+b …… ②
(3) 求解这个二变量线性方程，得到k和b的值。
(4) 最后得到初等函数的表达式。
5、线性函数在生活中的应用：
1、当时间t一定时，距离s是速度v的线性函数，s=vt。
2、当水池抽水速度f一定时，水池内的水量g是抽水时间t的线性函数。 假设水池中原来的水量为S。 g=S-英尺。
6、常用公式：
1.求函数图像的k值：(y1-y2)/(x1-x2)
2、求平行于x轴的线段的中点：|x1-x2|/2
3.找到平行于y轴的线段的中点：|y1-y2|/2
4.求任意线段的长度：√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2（注：根号下的(x1-x2)和(y1-y2)的平方和）
二次函数
一、定义及定义表达式
一般情况下，自变量x与因变量y之间有如下关系： y=ax^2+bx+c
（a、b、c为常数，a≠0，a决定函数的开口方向。当a>0时，开口方向为向上，a
二次函数表达式的右侧通常是二次三项式。
二. 二次函数的三种表达式
通式：y=ax^2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）
顶点公式：y=a(xh)^2+k [抛物线的顶点P(h,k)]
交点公式：y=a(x-x₁)(xx 2)【仅限于与x轴有交点A(x₁,0)和B(x2,0)的抛物线]
注：三种形式的相互转换中，存在如下关系：
h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x₁,x2=(-b±√b^2-4ac)/2a
三． 二次函数的图像
在平面直角坐标系中绘制二次函数y=x^2的图像，可以看出二次函数的图像是抛物线。
四． 抛物线的性质
1. 抛物线是轴对称图形。 对称轴是直线 x = -b/2a。
对称轴和抛物线之间的唯一交点是抛物线的顶点 P。 具体地，当b=0时，抛物线的对称轴为y轴（即直线x=0）。 更多科普知识点：
2、抛物线有一个顶点P，坐标为：P(-b/2a,(4ac-b^2)/4a) 当-b/2a=0时，P在y轴上； 当 Δ= b^2- 4ac=0 时，P 在 x 轴上。
3、二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时，抛物线开口向上； 当a<0时，抛物线开口向下。 较大的|a| 即，抛物线的开口越小。
4、一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a和b符号相同时（即ab>0），对称轴在y轴左侧；
当a和b符号不同时（即ab<0），对称轴位于y轴的右侧。
5. 常数项c决定抛物线与y轴的交点。
抛物线与 y 轴相交于 (0, c)
6、抛物线与x轴的交点个数
当Δ= b^2-4ac>0时，抛物线与x轴有两个交点。
当Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
当Δ= b^2-4ac<0时，抛物线与x轴无交点。 的价值
五、一变量的二次函数和二次方程
具体来说，二次函数（以下简称函数）y=ax^2+bx+c，
当y=0时，二次函数是一个变量关于x的二次方程（以下简称方程），即ax^2+bx+c=0
此时函数图是否与x轴相交，即方程是否有实根。 函数与x轴交点的横坐标是方程的根。
1、二次函数的图像 y=ax^2, y=a(xh)^2, y=a(xh)^2 +k, y=ax^2+bx+c （各式中，a≠ 0）形状相同，只是位置不同。
当h>0时，将抛物线y=ax^2平行向右h个单位移动即可得到y=a(xh)^2的图像，
当h
当h>0,k>0时，将抛物线y=ax^2平行向右移动h个单位，再向上移动k个单位，即可得到y=a(xh)^2+k的图像；
当h>0时，k
当h0时，将抛物线平行向左移动|h| 个单位，然后向上移动 k 个单位，得到 y=a(xh)^2+k 的图像；
当h
因此，通过研究抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图像，通过公式，可以将通式转化为y=a(xh)^2+k的形式，并且它的顶点坐标和对称轴就可以确定，抛物线的大致位置就很清楚了。 这为绘制图像提供了便利。
2、抛物线的图像 y=ax^2+bx+c(a≠0)：当a>0时，开口向上，当a
3． 抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，当x≤-b/2a时，y随着x的增大而减小； 当x≥-b/2a时，y随着x的增加而增加。 如果一个
4、抛物线y=ax^2+bx+c的图形与坐标轴的交点：
(1)图像必须与y轴相交，交点坐标为(0,c)；
(2)当△=b^2-4ac>0时，图像与x轴相交于两点A(x₁,0)和B(x2,0)，其中x1和x2为二次方程ax^2 +bx+c=0
(a≠0) 的两个根。 这两点之间的距离AB=|x2-x1|
当△=0． 图像与x轴只有一个交点；
当△0时，图像落在x轴上方。 当x为任意实数时，y>0； 当一个
5、抛物线的最大值 y=ax^2+bx+c: if a>0(a
顶点的横坐标是自变量取最大值时的值，顶点的纵坐标是最大值时的值。
6．利用待定系数法求二次函数的解析公式
（1）当题中给出的条件是已知图像经过三个已知点或者已知三对x和y的对应值时，解析公式可以设置为一般形式：
y=ax^2+bx+c(a≠0)。
(2)当问题给出的条件为已知图像的顶点坐标或对称轴时，解析表达式可设为顶点表达式：y=a(xh)^2+k(a≠0)。
(3) 当题中给出的条件为已知图像与x轴的两个交点的坐标时，解析公式可设为两个根式： y=a(x-x₁)(x- x2)(a≠0)。
7． 二次函数知识可以很容易地与其他知识结合，形成更复杂的综合问题。 因此，以二次函数知识为主的综合题是中考的热点题，经常以大题的形式出现。
反函数
y=k/x（k 是常数且 k≠0）形式的函数称为反比例函数。
自变量x的取值范围均为不等于0的实数。
反比例函数的图像性质：
反比例函数的图形是双曲线。
由于反比例函数是奇函数，f(-x)=-f(x)，因此图像关于原点对称。
另外，从反比例函数的解析表达式可以得出，如果在反比例函数的图像上任意取一点，画一条垂直于两个坐标轴的直线，所围成的矩形的面积至此，两脚垂直且原点为固定值，即∣k∣。
如图所示，上面给出了k为正值和负值（2和-2）时的函数图像。
当K>0时，反比例函数图像经过第一象限和第三象限，是递减函数。
当K<0时，反比例函数图像经过第二象限和第四象限，是一个增函数。
反比例函数的图像只能无限趋于坐标轴，而不能与坐标轴相交。
知识点：
1. 通过反比例函数图形上的任意点画出两个坐标轴的垂直线段。 这两条垂直线段与坐标轴围成的矩形面积为 | k|。
2、对于双曲线y=k/x，如果分母加上或减去任意实数（即y=k/(x±m)m为常数），则相当于将双曲线图像平移为向左或向右移动一个单位。 （加数时向左平移，减数时向右平移）
对数函数
对数函数的一般形式为，它实际上是指数函数的反函数。 因此，指数函数中a的规定也适用于对数函数。
右图是不同大小的a表示的函数图：
可见，对数函数的图形只是指数函数的图形关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。
(1) 对数函数的定义域是大于0的实数集合。
(2) 对数函数的取值范围是所有实数的集合。
(3) 函数始终传递 (1, 0)。
(4)当a大于1时，为单调增函数，且为凸函数； 当a小于1且大于0时，该函数是单调递减函数并且是凹函数。
(5) 显然对数函数是无界的。
指数函数
指数函数的一般形式为。 从上面我们对幂函数的讨论可以知道，如果要让x以整组实数为定义域，我们只能使
如图所示，a的大小不同会影响函数图。
看得到：
(1) 指数函数的定义域是所有实数的集合。 这里的前提是a大于0，如果a不大于0，那么函数的定义域内必然不存在连续区间，所以我们就不考虑了。
(2)指数函数的取值范围是大于0的实数集合。
(3) 函数图都是凹的。
(4) 若a大于1，则指数函数单调递增； 如果 a 小于 1 且大于 0，则指数函数单调递减。
(5) 我们可以看到一个明显的规律，即当a从0到无穷大（当然不能等于0）时，函数的曲线从接近正半的单调递减函数变化轴分别为Y轴和X轴。 该位置往往分别接近于Y轴的正半轴和X轴的负半轴的单调递增函数的位置。 水平直线y=1是从减少到增加的过渡位置。
(6) 函数总是无限趋于X轴的某个方向，且永不相交。
(7) 函数总是通过(0, 1)。
(8) 显然指数函数是无界的。
平价
注：(1)为奇函数 (2)为偶函数
1.定义
一般来说，对于函数 f(x)
(1) 如果函数定义域内的任意 x 都存在 f(-x)=-f(x)，则函数 f(x) 称为奇函数。
(2) 如果函数域中的任意x都存在f(-x)=f(x)，则函数f(x)称为偶函数。
(3) 如果对于函数定义域内的任意 x，f(-x)=-f(x) 和 f(-x)=f(x) 同时成立，则函数 f(x) 都是奇函数和偶函数。 函数又称为奇函数和偶函数。
(4) 如果 f(-x)=-f(x) 且 f(-x)=f(x) 对于函数域中的任何 x 均不成立，则函数 f(x) 既不是奇函数也不是奇函数奇函数。 不是偶函数的函数称为非奇函数或非偶函数。
阐明：
①奇数和偶数是函数的整体属性，对于整个定义域
②奇函数和偶函数的定义域必须关于原点对称。 如果函数的定义域关于原点不对称，则该函数一定不是奇（或偶）函数。
（分析：判断一个函数的奇偶性，首先检查它的定义域是否关于原点对称，然后严格按照奇数和偶数的定义，化简、整理，然后与f(x)比较得出结论）
③判断或证明函数是否具有奇偶性或均匀性的依据是定义
2、奇偶函数图像的特点：
定理：奇函数的图像形成关于原点的中心对称图，偶函数的图像形成关于y轴或轴的对称图。
f(x) 是奇函数“==” f(x) 的图像关于原点 (x, y) → (-x,-y) 对称
如果奇函数在一定区间内单调递增，那么它在其对称区间内也单调递增。
如果偶函数在一定区间内单调递增，则它在其对称区间内单调递减。
3. 奇偶函数运算
(1) . 两个偶函数的和是偶函数。
（2）。 两个奇函数的和是奇函数。
（3）。 偶函数和奇函数之和是非奇函数和非偶函数。
（4）。 两个偶函数的乘积是偶函数。
（5）。 两个奇函数的乘积是偶函数。
（6）。 偶函数乘以奇函数的乘积是奇函数。
领域
（高中函数定义）假设A和B是两个非空数集。 根据一定的对应关系f，对于集合A中的任意数x，在集合B中都有一个唯一的数f(x)与之对应，则f:A--B称为从集合A到集合B的函数，记为y=f(x)，x属于集合A。其中，x称为自变量，x的取值范围A称为函数的定义域；
范围
名称定义
在函数中，响应变量的范围称为函数的范围。 在数学中，它是函数域内响应变量的所有值的集合。
评估领域的常用方法
(1)折减法；
(2)图像法(数字和形状的组合)，
(3)函数单调性法，
(4)制备方法，
(5) 人民币替代法，
(6) 反函数法( )，
(7) 判别法，
(8) 复合函数法，
(9) 三角代换法，
(10)基本不等式法等
关于函数范围的误解：
定义域、对应规则、取值范围是函数构造的三个基本“组成部分”。 在普通数学中，毫无疑问地贯彻了“领域优先”的原则。 然而，一切事物都有双重性。 在强化定义域问题的同时，也常常被弱化或讨论。 对值域问题的探索产生了“硬”手和“软”手，使得学生对函数的掌握时好时坏。 ，其实定义域和值域在地位上是等价的，绝对不能把它们看的这么单薄，更何况它们随时都处于相互转化的过程中（一个典型的例子就是定义域的相互转化）互反函数的定义域和值域）。 如果函数的值域是无限集，那么找到函数的值域并不总是那么容易。 相反，依赖不平等的操作特性有时是行不通的。 它还必须与函数的奇偶性、单调性、有界性和周期性相结合。 考虑函数的值。 为了得到正确的答案，从这个角度来看，计算域的问题有时比定义域的问题还要困难。 实践证明，如果加强对值域计算方法的研究和讨论，将有利于对域的本征函数的理解，从而加深对域的本征函数的理解。 理解函数的本质。
“范围”和“范围”一样吗？
“范围”和“范围”是我们学习中经常遇到的两个概念。 许多学生常常将它们混淆。 其实它们是两个不同的概念。 “范围”是所有函数值的集合（即集合中的每个元素都是这个函数的值），而“范围”只是满足一定条件的一些值的集合（即集合中的元素不一定都满足这个条件）。 换句话说：“范围”是“范围”，但“范围”不一定是“范围”。
