函数是指在一定的变化过程中，存在两个相互依赖的变量x和y。 如果x取某个值，y就会按照一定的关系取相应的值。 此时，y是x的函数。 例如，以20km/h的速度骑自行车时，行驶距离s与行驶时间t的关系为：s=201； 距离s随着时间1的变化而变化，s和t之间存在对应关系，由于s和t可以取不同的值，所以它们是变量，而20的值保持不变，所以它是一个常数。 如果给变量1赋一个值，另一个变量s就可以获得唯一的对应值； 对于时间 t 的每个值，行进的距离 s 都有一个与其对应的唯一值。 此时，行驶的距离 s 是时间 t 的函数。
1.直角三角形及其六个三角函数
三角形用符号“△”表示。 它是由三条线段组成的闭合几何图形（图1-1）。 组成三角形的线段称为三角形的边。 相邻两条边的公共端点称为三角形的顶点。 相邻的两条边组成的角是三角形的内角。 三角形的三个角不一定相等，但三角形的内角和总是等于180。
由于函数本身的含义是一个互依变量，所以它也是直角三角形中某个角度的应变数，并且随着角度的变化而变化。 对于直角三角形（图1-1a），如果知道任意两条边，就可以知道锐角∠A或∠B的角大小。 同样，如果你知道任何锐角和一条边，你也可以知道其他角。 两侧的长、短尺寸。
在直角三角形中，有六个三角函数。 其定义及计算公式如表1-5所示。 计算时，正弦、正切、正割的函数值随着角度的增大而增大，但与角度并不成正比。 也就是说，当角度加倍时，函数不加倍； 反之，, 和余割的函数值随着角度的增大而减小。 同样，也不存在比例关系。 也就是说，当角度加倍时，函数值并不相应减小。
从表1-5可以看出
实际应用中，记住正弦、余弦、正切的函数公式即可，因为正弦和余割、余弦和割线、正切和余切是互逆关系，即：
很有用
2. 30、45、60的三角函数值及其关系表达式
30、45、60的三角函数值如表1-6所示
从表1-6可以看出如下关系：
3.利用三角函数计算直角三角形的一般方法
要使用表1-5中的三角函数公式进行计算，必须具有三个元素，即一个角和直角三角形的两条边。 如果要计算角度，则必须知道两条边的尺寸。 如果你想计算某条边，你必须知道角度的大小和边的长度。 这个角的两条边就是直角三角形的计算元素。
1.计算直角三角形的角度
计算角度有两种形式：
(1) 计算已知两条边的角度。 根据已知的两条边求出要计算的角度（图1-1a中的角A或角B），看看它属于哪个函数，然后用表1-5相关公式的方法进行计算。
(2) 给定一个角，求另一个角的度数。 由于直角三角形的两个锐角∠A和∠B互为余角（图1-1a），∠A+∠B=90，所以，∠A=90-∠B.∠B =90-∠ A。
2.计算直角三角形的边长
(1) 如果已知角度的一侧，则根据已知的一侧计算另一侧的角度。 首先看它属于哪一种函数关系，然后从表1-3中找出相关公式进行计算。
如图1-1a所示，我们知道∠B和a边，我们需要计算c边。 由表1-3可知：a/c=cosB，则c=a/cosB。
(2) 当两条边已知时，计算另一边的方法有两种。 一种方法是使用三角函数。 这时，先求出角度，然后用一个角一边的方法计算另一边； 另一种方法是使用三角函数。 它基于几何学中的毕达哥拉斯定理。
3.通过角和线的关系组成直角三角形
实际工作中，遇到的图形和形状包括圆形或多边形等，它们往往不是现成的直角三角形。 在计算中，需要利用几何图形中角度与直线的关系，画出各种辅助线（平行线）。 直线、垂直线、对角线、对角线、切线）方法形成直角三角形，然后才能进行计算。 常用的形式有以下几种：
(1)利用计算元素构成直角三角形。 在图1-2中，如果已知正方形的边长a，则计算对角线AB的长度。 此时连接AB得到直线c，形成直角三角形ABC进行计算。
对于图1-3中的燕尾槽条，宽度a和角度a已知，需要计算法向厚度b。 此时AC连接起来形成直角三角形ABC进行计算。
(2) 将对称图形平分得到直角三角形。 图1-4显示了等腰三角形的对称图形。 给定 d 和 L，计算锥角 a。 此时，从顶点画垂直平分线将对称图形平分得到直角三角形，然后进行计算。
图 1-5 显示了一个正六边形。 边长 s 和角度 a (a-360/60) 已知。 需要计算外接圆的半径R。 因为局部几何图形ABO不是直角三角形，而是对称图形。 此时，将其二等分也得到一个直角三角形。 已知数S/2、a/2和未知数R构成了这个三角形的计算元素，所以计算起来比较方便。
(3) 用已知边和未知边画平行线，形成直角三角形。 图1-6中，高为1，斜边为1，求斜角a。 如果我们从A点画出梯形的高AC，我们就得到直角三角形ABC。
∠BAC=a，所以已知数l和L以及未知数a构成了这个三角形的计算元素。
（4）用简化的未知数（或简化的已知数）画辅助线形成直角三角形。 图1-7中，a、b、h已知，需要计算a。 要组成直角三角形，可以画辅助线，简单计算已知数，即从A点画垂线AC，即可得到直角三角形ABC。 但这个三角形ABC只有一个已知数h和一个未知数a。 算起来，它还缺少已知的一面。 此时，可以将已知数简化为已知边BC=(ba)/2，从而可以进行计算。
(5)利用圆(圆弧)的切线和半径构成直角三角形。 每当遇到由圆或圆弧组成的图形时，都可以应用切线与经过切点的半径垂直的几何定理（图1-12）。 切线和切点处的半径形成直角三角形。 如图1-8所示，给定S和R，计算a。 此时，将切点处的半径0B连接起来即可形成直角三角形ABC。 已知的边R和S以及算术角a形成计算元素并被计算。
上述五种构成直角三角形的方法就是典型的例子。 实际工作中遇到的几何图形往往比这些图形更复杂，但一般来说，可以用这些典型的方法来组成直角三角形，或者结合以上方法来找到直角三角形，这样就很容易计算。
4.常用几何定理
几何定理与三角函数一样，是加工和技术测量过程中最常用的计算。 在实际计算中，经常会出现使用三角函数计算的同时，需要结合几何定理来求解； 或者在利用几何定理求解的同时，常常需要利用三角函数来计算。 虽然两者的计算方法不同，但都是相互依存的统一体。 因此，熟悉掌握并把两者联系起来，找出计算规则和计算方法，以便灵活地进行各种计算，都是需要解决的问题。
1.计算长度的几何定理
1.勾股定理
毕达哥拉斯定理是几何学中非常重要的定理，应用广泛。
在图1-1a所示的直角三角形中，斜边c称为弦，两个直角边的短边a称为钩，长边b称为股。 当钩为3、股为4时，则弦等于5，所有直角三角形都具有此性质。
毕达哥拉斯定理指出，直角三角形斜边的平方等于其他两条边的平方和。
根据毕达哥拉斯定理，在直角三角形中，如果已知任意两条边的长度，就可以求出第三条边的长度。 利用这个定理来计算长度是非常方便的。
2.计算角度常用的几何定理
3.利用几何定理计算尺寸的一般方法
要使用几何方法计算长度，最常用的是毕达哥拉斯定理。 要使用毕达哥拉斯定理进行计算，您还需要先形成一个直角三角形。 计算与使用三角函数大致相同。
1.应用几何计算形成直角三角形
图 1-15 显示了一个截断的圆。 平面之间的直径 d 和厚度 h 是已知的。 求平面部分的宽度b。 此时，从A点到B点、A点到C点画辅助线。这样，d、b、h就构成了直角三角形ABC。
在图1-16中，R和H已知，L是计算出来的。 此时，利用简化计算后的已知数(RH)和R以及待计算数L形成直角三角形ABC，并进行计算。
在图1-17中，已知弧长S和圆弧半径R，计算出弧高b。 此时，可用未知数h与已知数S/2、R组成直角三角形ABO。 计算完h后，我们就可以计算b(b=Rh)。
2. 使用几何定理的计算示例
(1) 计算截圆的尺寸。 图 1-18 显示了一个截断的圆。 D 是圆的直径，A 是平面部分的宽度，B 是两个平面之间的距离。 在计算长度和距离时，根据毕达哥拉斯定理得到如下公式：
【例】有一个工件，直径D=30mm（图1-19），要求平整部宽度A为22mm。 对边之间的距离 B 是多少？
【例】假设工件的坡口深度（图1-20）H=10mm，圆弧连接长度为15mm。 圆弧半径R是多少？
【例】图1-21中圆轴的大直径D=35mm，小直径d=25mm。 大、小轴采用长度8mm（即L=8mm）以内的圆弧连接。 求圆角半径 R。 ?
【例】工件大、小轴之间的圆弧半径为R=8mm，大轴直径为D=40mm，小轴直径为d-32mm。 圆弧部分的轴向长度L是多少？
[例子] 我们要加工一个等边三角形模具的冲头。 三角形的边长是30mm。 如果用圆工具钢加工的话，应该用多大直径的圆材呢？
[例] 圆锥体的基圆直径D=100mm，垂直高度h=140mm。 倾斜高度1是多少？
【例】圆锥体上底直径d-200mm，下底直径D=320mm，垂直高度h=210mm。 它的倾斜高度1是多少？
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审稿非常辛苦。
