当你想到数学时你会想到什么？ 是复杂的几何形状、繁琐的数值运算、困难的方程、未解的猜想，还是……？ 当面对数学是什么的问题时，我们试图保持一个相对广泛的定义，其中包括所有定量、几何和逻辑领域。 也许最直观的假设之一是数学是数学家从事的研究领域。

那么，数学家到底在研究什么？ 或者说数学由哪几部分组成？ 传统上，我们可以将数学分为两大类：纯数学，即对数学本身的研究；以及应用数学，即应用于解决现实世界问题的数学。 但这种分类并不是很明确，很多领域最初是从纯数学角度发展起来的，但后来却发现了意想不到的应用。 很多领域之间也存在着非常密切的关系，所以如果我们想要对数学进行准确的分类，它应该是一个复杂的网络。

在本文中，我们将带领读者简要了解数学的五个主要部分：数学基础、代数、分析、几何和应用数学。

1.数学基础

数学基础研究逻辑或集合论中的问题，这是数学的语言。 逻辑和集合论领域思考数学本身的执行框架。 在一定程度上，它研究数学现实的证明和本质，接近哲学。

数理逻辑与基础（逻辑与）

数理逻辑是本节的核心，但是在第一次使用逻辑定律之后就会产生对逻辑定律的良好理解。 除了在计算机科学、哲学和数学中正式使用基本命题逻辑之外，该领域还涵盖普通逻辑和证明理论，最终形成模型理论。 这里，一些著名的结果包括哥德尔不完备定理和丘奇与递归理论相关的论文。

2.代数

代数是通过改进计数、算术、代数运算和对称性的一些关键概念而发展起来的。 通常，这些领域仅通过几个公理来定义其研究对象，然后考虑这些对象的示例、结构和应用。 其他代数性很强的领域包括代数拓扑、信息和通信以及数值分析。

数论( )

数论是纯数学最古老和最大的分支之一。 显然，它涉及与数字有关的问题，通常是整数或有理数（分数）。 除了同余、整除和素数等基本主题外，数论现在还包括环和数域的非常部分代数的研究； 还有渐近估计和特殊函数的分析方法和几何主题； 此外，它与密码学、数理逻辑甚至实验科学都有重要的联系。

群论（群）

群论是对定义“乘积”运算可逆组合的集合的研究。 这包括其他数学对象的对称集，使群论在所有其他数学中占有一席之地。 有限群可能是最容易理解的，但矩阵群和几何图形的对称性也是群的中心例子。

李氏集团

李群是群论的一个重要的特殊分支。 它们具有代数结构，但同时也是空间的子集，并且还包含几何； 此外，它们的一部分看起来像欧几里得空间，这使我们能够分析它们（例如求解微分方程）。 因此，李群和其他拓扑群位于纯数学不同领域的交汇处。

交换环和交换代数（环和）

交换环是类似于允许加法和乘法的整数集合的集合。 特别令人感兴趣的是数论、场论和相关领域中的环。

结合环和结合代数（环和）

结合环理论可以看作是交换环的非交换类比。 它包括对矩阵环、可分环（例如四元数）以及群论中重要的环的研究。 数学家开发了各种工具来研究广义环。

非结合环和非结合代数（环与）

非结合环理论进一步拓宽了研究范围。 这里的一般理论较弱，但此类环的特殊情况至关重要：尤其是李代数，但也涉及代数和其他类型。

场论和多项式（Field 和 ）

场论研究集合（例如实直线），所有一般算术属性都包含在实直线上，包括除法属性。 多域的研究对于多项式方程具有重要意义，因此在数论和群论中也具有应用意义。

一般代数系统 ( )

一般代数系统包括那些具有非常简单的公理组成的系统，以及那些不容易包含在群、环、域或其他代数系统中的结构。

代数几何 ( )

代数几何将代数和几何结合起来，互惠互利。 比如1995年证明的“费​​马大定理”，看似是关于数论的陈述，但实际上是通过几何工具证明的。 反过来，使用复杂的代数机制研究由方程定义的集合的几何性质。 这是一个非常令人着迷的领域，许多重要的话题都非常深刻，椭圆曲线就是其中之一。

线性代数 ( )

线性代数有时“伪装”为矩阵理论，考虑维持线性结构的集合和函数。 它涵盖的数学范围非常广泛，包括公理化处理、计算问题、代数结构，甚至几何学的某些部分； 此外，它还为分析微分方程、统计过程、甚至许多物理现象提供了重要的工具。

范畴论 ( )

范畴论是一个相对较新的数学领域，它为讨论代数和几何的各个领域提供了通用框架。

K理论（K）

K 理论是代数和几何的有趣结合。 最初为拓扑空间（向量丛）定义，现在也为环（模）定义，它为这些对象提供了额外的代数信息。

组合数学()

组合数学（或离散数学）着眼于集合的结构，其中某些子集是可区分的。 例如，图是点的集合，其中给出了一些边（两个点的集合）。 其他组合问题需要计算具有给定属性的集合的子集。 这是一个巨大的领域，计算机科学家和数学以外的其他人对此非常感兴趣。

套

例如，有序集（格）可以是域的一组子域，给出统一的结构。 各种特殊类型的晶格具有异常良好的结构结构，并应用于群论和代数拓扑等许多领域。

3. 几何

几何是数学中最古老的领域之一，几个世纪以来它经历了几次重生。 在一个极端，几何学包括对刚性结构的精确研究，最早出现在欧几里得的《几何原本》中。 在另一个极端，一般拓扑关注的是形状之间最基本的亲和力。 关系。 代数几何中还隐含着一个非常微妙的“几何”概念，但如上所述，它实际上更代数。 其他可以被视为几何的领域包括 K 理论、李群、多复变量函数、变分算术、全局分析和流行分析。

几何学（）

几何是一门从多个方面进行研究的学科。 这个大领域包括经典欧几里德和非欧几里德几何、解析几何、重合几何（包括射影平面）、度量属性（长度和角度）和组合几何——例如，来自出现在 中的有限群论几何。

流形()

流形是一个局部看起来像欧几里得空间的球状空间。 在这些空间中，我们可以讨论（局部）线性映射以及函数的平滑度。 它们还包括许多常见的表面。 多面体复合体是由欧几里得空间的许多部分组成的空间。 这些空间类型可以精确回答映射和嵌入问题。 它们特别适合代数拓扑中的计算，并且可以细粒度区分不同的等价概念。

凸几何与离散几何（和）

凸几何和离散几何包括欧几里得空间中凸子集的研究。 它们包括多边形和多面体的研究，并且经常与离散数学和群论重叠； 分段线性流形允许它们与拓扑相交。 此外，该领域还包括欧几里得空间中的镶嵌和堆积问题。

微分几何( )

微分几何是现代物理学的语言，也是数学的乐土。 通常，我们考虑的集合是流形（即局部类似于欧几里得空间）并且配备有距离度量。 它包括曲线和曲面曲率的研究。 局部问题对于微分方程的研究来说既合适又有帮助； 全局问题常常需要代数拓扑。

一般拓扑 ( )

一般拓扑研究仅包含不精确定义的“闭包”（足以确定哪些函数是连续的）的空间。 研究一些具有附加结构的空间（例如度量空间或紧致豪斯多夫空间）并观察某些属性（例如紧致性）如何与子空间、乘积空间等共享是很常见的。拓扑广泛应用于几何和分析，导致一些奇怪的例子和集合论问题。

代数拓扑 ( )

代数拓扑是对附属于拓扑空间的代数对象的研究，代数不变量描述了空间的某些刚度。 这包括各种（上层）同调理论、同伦群以及一些更多的几何工具，例如纤维丛。 它的代数力学（主要源自同调代数）强大而令人生畏。

4.分析

分析是对从微积分和相关领域获得的结果的研究。 我们可以进一步将其分为5个小部分：

[微积分与实分析]

实函数

微积分课程中引入了实函数，重点是它们的导数和积分，以及一般不等式。 该区域包括常见函数，例如有理函数，最适合讨论与初等微积分相关的问题。

测量和积分（和）

测度论和积分研究一般空间的长度、表面积和体积，这是积分理论全面发展的一个关键特征，也为概率论提供了基本框架。

特殊功能 ( )

特殊函数是常见三角函数或指数函数之外的特定函数。 正在研究的领域（例如超几何函数、正交多项式等）自然出现在分析、数论、李群和组合数学领域。

差分方程和函数方程（和）

差分方程和函数方程都像微分方程一样涉及函数的求导，但它们的前提不同：差分方程的定义关系不是微分方程，而是函数值的差。 函数方程（通常）以函数在几个点处的值之间的代数关系为前提。

序列和系列（和）

数列和级数实际上只是极限方法最常见的例子； 收敛标准和收敛速度与找到“答案”同样重要。 （对于函数序列，找到“问题”同样重要。）特殊级数（例如已知函数的泰勒级数）和快速求和的通用方法引起了人们的极大兴趣。 积分可以用来求级数，分析可以用来求级数的稳定性。 级数运算（例如乘法或求逆）也是重要的主题。

【复杂变量】

复函数（a 的）

复数函数研究假设复数上定义的函数可微分的影响。 有趣的是，这种效应与真实函数显着不同，真实函数受到更严格的约束，特别是我们可以对它们的整体行为、收敛性等做出非常明确的评论。这个区域包括黎曼曲面，其局部看起来像复杂的平面，但实际上是不在同一个空间。 复变技术在电磁学等多个领域有着广泛的应用。

势能理论 ( )

势理论研究调和函数。 从数学角度看，它们都是拉普拉斯方程Del(u)=0的解； 从物理角度来看，它们是向整个空间提供势能（由质量或电荷产生）的函数。 。

多个复变函数和解析空间（和）

多重复变函数研究多个复变变量的函数。 复可微分所施加的严格约束意味着，至少在局部，这些函数的行为几乎像多项式。 相关空间的研究也往往类似于代数几何，只不过除了代数结构之外还使用了分析工具。 这些空间上的微分方程及其自同构 ( ) 为它们提供了与其他领域的有用联系。

【微分方程和积分方程】

常微分方程 ( )

常微分方程 (ODE) 是这样的方程，其中未知的未知数是函数而不是数值，已知信息将未知函数与其导数联系起来。 这些方程很少有明确的答案，但有大量信息定性地描述了它们的解决方案。 微分方程有许多重要类别，在工程和科学中具有广泛的应用。

偏微分方程( )

偏微分方程 (PDE) 与常微分方程的形式大致相同，只是它尝试求解的函数包含多个变量。 在求解过程中，我们还需要能够定性描述其解的信息。 例如，在许多情况下，仅当某些参数属于特定集合（例如整数集合）时，解才存在。 它们与自然科学，特别是物理学、热力学和量子力学有着非常密切的关系。

动力系统和遍历理论（和）

动态系统研究函数从空间到自身的迭代。 理论上该领域与流形上的微分方程密切相关，但实际上它的重点是基本集（例如不变量或极限集）和极限系统的混沌行为。

积分方程 ( )

积分方程自然会寻找满足其积分关系的函数。 例如，函数在每个时间的值可能与之前所有时间的平均值相关。 该领域包括混合积分和微分的方程。 微分方程的许多方面都会重复出现，例如定性问题、近似方法以及有助于简化问题的变换和运算符。

变异方法和优化（和）

变分方法和优化寻找可以优化目标函数的函数或几何对象。 当然，这还包括对找到最佳结果所需技术的讨论，例如逐次逼近方法或线性规划。 此外，还有大量研究用于建立和描述最佳解决方案。 在许多情况下，最优函数或最优曲线可以表示为微分方程的解。 常见的应用包括寻找某种意义上的最短曲线和最小曲面。 该领域也适用于经济学或控制理论中的优化问题。

总体分析( )

全局分析（或流形分析）研究流形微分方程的全局性质。 除了常微分方程理论中的一些局部适用的工具之外，全局技术还包括使用映射的拓扑空间。 该领域还与流形理论、无限维流形和奇点流形相关，因此与突变理论相关。 除此之外，它还涉及优化问题，因此与变分计算重叠。

【功能分析】

泛函分析 ()

泛函分析研究微分方程的全局背景，例如，它将微分算子视为一组函数的线性映射。 因此，该领域成为对具有某种度量或其他结构（包括环结构（例如 代数和 C* 代数））的（无限维）向量空间的研究。 度量、导数和对偶性的适当概括也属于这个领域。

傅立叶分析 ( )

傅里叶分析使用三角多项式来研究函数的逼近和分解。 该领域在许多分析应用中具有无价的价值，并具有许多具体而有力的结果，包括收敛标准、估计和不等式以及存在唯一性结果。 它的扩展包括奇异积分理论、傅立叶变换和适当函数空间的研究。 该领域还包括其他正交函数族的近似，包括正交多项式和小波。

抽象谐波分析 ( )

抽象调和分析：如果说傅里叶级数研究周期性实函数，即在整数变换群下保持不变的实函数，那么抽象调和分析研究的是在子群下保持不变的实函数。 对一般群体起作用。 它涵盖了与不同特异性水平相关的主题，进而涉及李群或局部紧阿贝尔群的分析。 该领域也与拓扑群的表示论重叠。

积分变换 ( )

积分变换包括傅立叶变换和拉普拉斯变换、拉东变换等其他变换。 此外，还包括卷积运算和算子演算。

算子理论 ( )

算子理论研究泛函分析中向量空间之间的变换，例如微分算子或自伴算子。 分析可以研究单个算子的谱或多个算子的半群结构。

[数值分析与优化]

数值分析（ ）

数值分析涉及数值数据的计算方法的研究。 在许多问题中，这意味着进行一系列近似。 因此，问题涉及收敛速度、答案的准确性（甚至有效性）以及响应的完整性（有很多问题很难从程序的终端开始查看是否存在其他解决方案）。 数学中的许多问题都可以归结为线性代数问题——一个需要数值方法来研究的领域； 与此相关的一个重要问题是处理初始数据所需的时间。 微分方程的数值求解不仅需要确定几个值，而且需要确定整个函数； 特别是，必须根据某种总体标准来判断收敛性。 该领域还包括数值模拟、优化、图形分析和开发文件的工作代码等主题。

近似与展开（和）

逼近和展开主要考虑用特殊类型的函数来逼近实函数。 这包括使用线性函数、多项式（不仅仅是泰勒多项式）和有理函数的近似； 三角多项式的逼近又分为傅立叶分析。 该区域包括拟合优度、误差范围、近似族变化的稳定性以及近似下保留的函数属性（例如可微分性）的标准。 有效的技术对于某些类型的近似也很有价值。 该区域还涵盖插值和样条曲线。

运筹学/数学规划 ( , )

运筹学是研究最优资源配置的领域。 根据设置中的选项和约束，它可能涉及线性规划、二次规划、凸规划、整数规划或布尔规划。 这一类别还包括博弈论，它实际上不是关于游戏，而是关于优化，它研究哪种策略组合会产生最佳结果。 该领域还包括数理经济学。

5.应用数学

现在我们来谈谈数学中很多人最关心的部分——开发能够将数学应用到数学领域之外的数学工具。

概率与统计领域考虑使用数字信息来量化事件的观察结果。 显然，他们使用的工具和开发都是数学的，这是一个与分析高度重叠的领域。 但另一方面，该领域发展的思想主要应用于非数学领域。

概率论和随机过程（和）

概率论应用于有限集时是一种简单的计数组合分析，因此其技术和结果类似于离散数学。 当考虑无限可能的结果时，这个理论就变得很有价值。 它涉及大量的测量理论以及对结果的详细而严格的解释。 随着分布函数和暗示集中趋势的极限定理的研究，更多的分析进入了这个领域。 应用于重复转变或随时间的转变会导致马尔可夫过程和随机过程。 当考虑随机结构时，概率的概念应用于数学，特别是在某些情况下，它可以产生甚至对于纯数学来说也非常好的算法。

统计数据（）

统计学是一门获取、综合、预测和从数据中进行推断的科学。 均值和标准差的基本计算足以总结大型、有限、正态分布的数据集； 统计领域的存在是因为数据往往不能得到很好的表达。 如果我们不知道数据集中的所有元素，我们就必须讨论抽样和实验设计； 如果数据存在异常，我们需要使用其他参数或者使用非参数方法来总结； 当涉及多个数据时，我们需要研究不同变量之间交互作用的度量。 其他研究主题包括研究随时间变化的数据以及避免歧义或悖论的必要基础。 其计算方法（例如曲线拟合）对于科学和工程以及金融和精算等领域的工作特别重要。

计算机科学（ ）

计算机科学现在是一门独立的学科，研究许多数学问题。 在这一领域，除了离散数学中的许多问题以及与递归理论相关的逻辑问题所产生的可计算性问题外，还考虑调度问题、随机模型等。

信息和通信（和）

信息和通信包括代数学家特别感兴趣的许多问题，特别是编码理论（与线性代数和有限群相关）和密码学（与数论和组合学相关）。 许多适合该领域的主题都可以用图论来表达，例如网络流和电路设计。 数据压缩和可视化都与统计重叠。

粒子力学与系统力学（和）

粒子力学和系统力学研究粒子或固体的动力学，包括旋转和振动物体。 将使用变化原理（能量最小化）和微分方程。

固体力学 ( )

固体力学考虑弹性和塑性、波传播、工程以及特定固体（例如土壤和晶体）的问题。

流体力学（流体）

流体力学研究空气、水和其他流体的运动：压缩、湍流、扩散、波传播等。 从数学的角度来看，这包括研究微分方程的解，这涉及到大规模的数值计算方法（例如有限元法）。

光/电磁理论 (, )

光电磁理论是研究电磁波传播和演化的理论。 它包括干涉和衍射等主题。 除了一些普通的分析分支外，该领域还涉及一些几何相关的主题，例如光的传播路径。

经典热力学/热传导（ , heat ）

经典热力学和热传导研究热量在物质中的流动，包括相变和燃烧。 从历史的角度来看，它是傅里叶级数的起源。

量子理论 （ ）

量子理论研究薛定谔（微分）方程的解。 同时，它还包括大量的李群论、量子群论、分布论，以及相关的泛函分析、杨-米尔斯问题、费曼图等等问题。

统计力学/物质结构 ( , of )

统计力学和材料结构研究大规模粒子系统，包括随机系统和运动或进化系统。 研究的特定类型物质包括液体、晶体、金属和其他固体。

相对论和引力论（和）

相对论和引力论将微分几何、分析和群论应用于一些大规模或极端的物理案例（例如黑洞和宇宙学）。

天文学和天体物理学（和）

天文学和天体物理学：由于天体力学在数学上是粒子力学的一部分，因此该领域的大多数主要应用都与恒星和星系的结构、演化和相互作用有关。

地球物理学()

地球物理学的应用通常涉及力学和流体动力学，但它研究的是大规模问题。

系统理论/控制论 ( ; )

系统理论和控制论研究复杂系统（例如工程系统）随时间的演变。 特别地，人们可以尝试识别系统（即，确定控制其发展的方程或参数），或控制系统（即，通过选择某些参数来实现期望的状态）。 特别令人感兴趣的是稳定性问题以及随机变化和噪声对系统的影响。 虽然这通常是“控制论”或“机器人学”的领域，但实际上它是微分（或差分）方程、泛函分析、数值分析和全局分析（或微分几何）的应用领域。

生物学和其他科学（及其他）

数学还与许多学科有明显的联系，包括化学、生物学、遗传学、医学、心理学、社会学和其他社会科学。 在化学和生物化学中，图论、微分几何和微分方程的作用是显而易见的。 医疗技术必须使用信息传输和可视化技术。 生物学，包括分类学和考古生物学，使用统计推断和其他工具。 经济学和金融学也大量使用统计工具，尤其是时间序列分析； 有些主题更具组合性，例如投票理论。 （由于某种原因，数理经济学被纳入运筹学领域。）行为科学（包括语言学）更多地使用大量统计技术，其中涉及实验设计和其他部分组合。 主题。

上面列出的是数学家所从事的研究，但绝对不是唯一的分类标准，我们无法完整地列出所有领域。 例如，数学家还研究量子代数（ ）、分形（ ）、数学史和数学教育等。

对于很多人来说，数学是一门非常抽象且难以理解的学科。 尤其是现代数学的发展已经远远超出了非专业人士的理解。 但对于数学家来说，那些抽象的概念、符号、证明就像优美的音乐，让他们陶醉其中。 而数学在自然科学中的非理性有效性更是令人难以理解的奇迹。 正如诺贝尔奖获得者尤金·维格纳所写：“数学语言在表达自然法则方面的充分性是一个奇迹，是我们既不理解也不配得的美妙礼物。我们应该心存感激，并希望它对未来的研究仍然有效。而且，对于无论好坏，即使在我们扩展知识的过程中它让我们感到困惑，它仍然是正确的。”