函数的传统定义：
假设在某个变化过程中有两个变量x和y。 如果对于x在一定范围内的每一个确定值，y都有一个唯一的、确定的值与之对应，则称y是x的函数。 它称为自变量。
我们把自变量x的值的集合称为函数的域，自变量x对应的y的值称为函数值，函数值的集合称为函数的域。
函数的现代定义：
假设A和B都是非空数集，f:x→y是A到B的对应规则，则A到B的映射f:A→B称为函数，记为y=f( x )，其中x∈A，y∈B，原始图像集A称为函数f(x)的域，图像集C称为函数f(x)的值域。 显然有CB。
符号 y=f(x) 是“y 是 x 的函数”的数学表示，应理解为：
x 是自变量，是规则应用的对象； f为对应的规则，可以是一个或多个解析表达式、一张图像、一张表格或一段文字描述； y是自变量的函数，当x为某个允许的特定值时，对应的y值就是自变量值对应的函数值。 当f由解析表达式表达时，该解析表达式是函数解析表达式。 y=f(x)只是一个函数符号，并不意味着“y等于f和x的乘积”，并且f(x)不一定是解析表达式。 研究函数时，除了使用符号f(x)外，还常用g(x)、F(x)、G(x)等符号来表示。
理解函数的概念
函数的两种定义本质上是相同的，但描述概念的出发点不同。 传统的定义是从运动变化的角度出发，而现代的定义则是从采集和映射的角度出发。 这样一来，就不难知道函数的本质是从非线性的角度来看的。 从空数集A到非空数集B的特殊映射。
从函数的现代定义可以看出，函数的概念包含三个要素：定义域A、取值范围C和对应定律f。 其核心是对应律f，它是函数关系的本质特征。 y=f(x)的含义是：y等于x在规则f下的对应值，f是实现“对应”的方法和途径，是x和y之间的纽带，所以函数的核心。 至于用什么字母来表示自变量、因变量和对应律，这无关紧要。
函数的定义域（即原始图像集）是自变量x的取值范围，是函数不可或缺的一部分。 当函数的定义域以及从定义域到值域的对应规则完全确定后，函数的值域也就确定了。 因此，定义域和对应规则是“y是x的函数”的两个基本条件。 只有当两个函数的定义域和对应规则分别一致时，同时这两个函数才是同一个函数，也就是说：
1）如果定义域不同，两个函数也会不同；
2）对应的规则不同，两者的功能也不同；
3）即使两个函数具有相同的定义域和取值范围，也不一定是同一个函数，因为函数的定义域和取值范围不能唯一确定该函数对应的规则。
例如：函数 y=x+1 和 y=2x+1 具有相同的定义域和 x ∈ R 和 y ∈ R 的取值范围。 也就是说，这两个函数的定义域和取值范围是相同的，但对应的规则不同，所以我们不能说这两个函数是同一个函数。
定义域A、取值范围C以及A到C的对应规律f称为函数三要素。 由于值域可以由定义域和对应规律唯一确定，因此两个函数一致当且仅当定义域和对应规律分别同时为同一个函数。
例如：五组函数中①y=x and、②and、③y=x+1 and、④y=x0 and y=1、⑤y=|x|and，只有⑤表示相同的函数。
f(x)和f(a)的区别和联系
f(a)表示x=a时函数f(x)的值，为常数。 f(x) 是自变量 x 的函数。 一般来说，它是一个变量，f(a)是f(x)的特殊值。 例如，线性函数f(x)=3x+4，当x=8时，f(8)=3×8+4=28是一个常数。
当法律强加的对象与解析表达式表达的对象不一致时，解析表达式就不能正确适用规则。
例如，f(x) = x2 + 1，左端是应用于x的规则，右端也是关于x的解析表达式。 此时，这个表达式就是以x为自变量的函数的解析表达式； 对于f(x + 1) = 3x2 + 2x + 1，左端表示将规则应用于x+1，右端是关于x的解析表达式。 两者并不统一。 此时，该表达式既不是关于x的泛函解析表达式，也不是关于x+1的泛函解析表达式。
