这只是构建它的一种方法。 这种方法本身没有什么意义，但是可以让求条件极值的步骤变得相对简单方便，所以大家都倾向于使用构造拉格朗日函数的方法来求条件极值。

使用拉格朗日函数求条件极值是一种严格的方法。 一般的严格证明请参考各种数学分析教科书。 以二元函数为例。 假设变量x、y满足约束条件f(x,y)=0，求g(x,y)的极值。 对f(x,y)=0求导，得df=\frac{\ f}{\ x}dx+\frac{\ f}{\ y}dy=0 ①

g(x,y)取极值的必要条件是dg=\frac{\g}{\x}dx+\frac{\g}{\y}dy=0 ②

结合①②，这个方程组可以看成是关于dx，dy的齐次线性方程组。为了使这个方程有非零解（虽然dx，dy是一个小量，但它并不是真正的零） ，则方程组系数矩阵的行列式为零，即

\frac{\f}{\x}\frac{\g}{\y}-\frac{\f}{\y}\frac{\g}{\x}=0 ③

也就是说，③是g(x,y)取极值的条件。 将③与f(x,y)=0结合起来，即可找到极值点。

以上就是根据定义求极值的方法。 接下来我们看看通过构造拉格朗日函数能否得到公式③。 设拉格朗日函数h(x,y)=g(x,y)+\f(x,y)。 其无条件极值点满足：

\frac{\ h}{\ x}=\frac{\ g}{\ x}+\ \frac{\ f}{\ x}=0 ④

\frac{\ h}{\ y}=\frac{\ g}{\ y}+\ \frac{\ f}{\ y}=0 ⑤

同时④⑤，这个方程组可以看成是关于\mu,\的齐次线性方程组（\mu只是暂时引入的变量）：

\mu\frac{\ g}{\ x}+\ \frac{\ f}{\ x}=0

\mu\frac{\ g}{\ y}+\ \frac{\ f}{\ y}=0

并且已知该方程组有非零解\mu=1

根据齐次线性方程组有非零解的条件，该方程的系数矩阵的行列式为零，即

\frac{\g}{\x}\frac{\f}{\y}-\frac{\f}{\x}\frac{\g}{\y}=0 ⑥

可见，③和⑥是完全等价的，也就是说用拉格朗日函数求条件极值就等价于用定义求条件极值。 因此我们可以通过求解方程组④⑤求出g(x,y)的条件极值。

最后，提问者在这个问题中添加了“分析力学”这个话题，但是分析力学中的拉格朗日函数并不是问题描述中提到的拉格朗日函数。 第二类拉格朗日方程\frac{d}{dt}\frac{\ L}{\(\frac{dq}{dt}) }-\frac{\使用分析力学中的拉格朗日函数L=TV L}{\q}=0。 问题提到的拉格朗日函数是一种求条件极值的方法。 两者完全不同。