有界变量是指对于任意给定的x，对应的函数值f(x)的绝对值总是小于正数M。sin1/x的值只能在-1和1之间变化。无论x何时趋向于，它是有界的。

当x趋于某一过程时，h(x)的极限为A，它是局部有界的。 因为极限是局部概念，所以只能保证其有界于这个小邻域内，即局部有界。

有界函数不一定是连续的。 根据定义，f在D上有上（下）界，也就是说f（D）的取值范围是一组有上（下）界的数。 根据有界原理，f 在定义域上有上（下）界。

一种特殊情况是有界序列，其中 X 是所有自然数的集合 N。 由 f (x)=sinx 定义的函数 f:R→R 是有界的。 随着x越来越接近-1或1，函数的值变得越来越大。

扩展信息：

有界序列，其中 X 是所有自然数的集合 N。 因此，如果存在数字 M > 0，使得对于所有自然数 n，则序列 (a0, a1, a2, ... ) 是有界的。

由 f (x)=sinx 定义的函数 f:R→R 是有界的。 如果正弦函数是在所有复数的集合上定义的，则它不再有界。 函数（x 不等于 -1 或 1）是无界的。 随着x越来越接近-1或1，函数的值变得越来越大。 但是，如果函数的定义域限制为 [2, ∞)，则该函数是有界的。

任何连续函数 f[0,1] →R 都是有界的。 考虑一个函数，当 x 是有理数时，该函数的值为 0；当 x 是无理数时，该函数的值为 1。 这个函数是有界的。 有界函数不一定是连续的。