大家好，我是小张老师。 从本期开始，我们将进入实数论部分。 这部分的概念和方法比较抽象，理论难度较高，但也是数学专业学生必须掌握的内容。 。 本期介绍实数论的第一个概念——定界，以及实数系六大基本公理之一——定界原理。 数学专业的学生应该掌握本期内容的内涵，非数学专业的学生也能理解。

精确的边界及其等效特征。

定义1（精确界） (i) 假设S \ \{R} 是一组有上界的实数，则S 的最小上界称为S 的上界，记为\sup{S}； 实数有界集合 S 规定 \sup{S} = +\infty。

(ii) 假设 S \ \{R} 是一组有下界的实数，则 S 的最大下界称为 S 的不精确界，记为 \inf{S}； 对于没有下界的实数集合S，规定\inf {S} = -\infty。

在实际应用中，“最小上界”和“最大下界”等描述往往很难描述。 因此，以下等价定义被更广泛地使用。

命题 2（不精确界的等价表征） (i) 数集 S \ \{R} 的上界为 M \in \{R}，当且仅当 (a) M 是 S 的上界，即对于\x\in S，有x\le M； (b) 任何小于M的数都不是S的上界，即对于0,~\ \, x_{0} \in S,~st~x_{0} > M - \">\ \ > 0,~\ \, x_{0} \in S,~st~x_{0} > M - \.

(ii) 数集 S \ \{R} 的下界为 m \in \{R}，当且仅当 (a) m 是 S 的下界，即对于 \ x \in S， x \ge m ;(b) 任何大于 m 的数都不是 S 的下界，即对于 0,~\ \, x_{0} \in S,~st~x_{0} < m + \ ">\ \ > 0,~ \ \, x_{0} \in S,~st~x_{0} < m + \.

2、明确界限的原则。

公理3（不定原理） 在实数系中，具有上限的数集必定具有上界，具有下界的数集必定具有不定界。

3.一些注意事项。

(i) 精确界限和最大值之间的关系。 (a) 在实数系中，设置有上限的数一定有上限，但不一定有最大值； 设置下界的数字必须有下界 Exact 界，但不一定是最小值。 (b) 具有最大值的数集必须有一个上界，然后有一个上界，并且上界等于最大值； 一个设置了最小值的数必然有一个下界，那么就有下界等于最小值。

(ii) 精确界限的唯一性：如果实数集的上界或无限存在，则它必须是唯一的。

(iii) 取定界时，严格不等号应变为非严格不等号（类比极限的保序）。 例如，如果对于 \ x \in S，x < M，则 \sup{S} \le M。

(iv) 确定性原理反映了实数系统的完备性，因此仅在实数系统中成立。 其他数域不一定具有完备性，例如有理数系\{Q}。

例子

例4 假设数集S \\{R} 的上界为M \in \{R} \cup \{+\infty\}，证明：存在序列\{ x_{n} \} \ S在 S 中，满足 \lim\{n \ \infty} x_{n} = M。此外，如果 M \not in S，则 \{ x_{n} \} 可以严格单调递增。

证明

讨论

本题的证明用到了数学分析中的一个重要的思维方法，即构造数列的递归方法。 递归方法构造序列的一般步骤为： (i) 选择x_{1}； (ii) 假设给定x_{k-1}，选择x_{k}，从而递归地得到序列\{x_{n}\}。 步骤（ii）通常是问题的关键。 考虑本题中的两个表达式 M - x_{ (1) k-1} 和 \frac{1}{k} 的作用。 M - x_{k-1} 保证 x_{k-1}">x_{k} > x_{k-1}，即 \{ x_ {n} \} 严格单调性； \frac{1} {k}保证\left| x_{k} - M \right| < \frac{1}{k}，即\{ x_{n} \ }能够收敛到目标极限，这两个条件缺一不可序列\{x_{n}\}的正确构造。同理，两个表达式x_{k-1}和k分别保证了\{x_{n}\}的严格单调性和\{x_{的趋势n} \} 到正无穷大。可见，根据要构造的序列中需要满足的性质，灵活运用已知条件，是递归方法构造序列的核心。

实践

下面的练习使用定界原理来证明单调收敛定理。 事实上，单调收敛定理也是实数系六大基本定理之一。

练习5 利用定界原理证明单调收敛定理：单调有界序列必定收敛。