本文翻译自2013年9月发表于《科学美国人》博客网站的《10 Trig Your Math Never You》，作者Lamb是一名自由撰稿人。 介绍

半正弦()? 外割线()? 本文将为您揭秘历史上曾使用过的10个三角函数以及它们最终被抛弃的原因。

文本

《洋葱新闻》[1]曾报道过“美国高中数学课上引入的27个新三角函数”。 虽然那篇有趣的新闻报道中的“”、“”等三角函数的名称都是虚构的，但这些创造其实都来自于一个事实：历史上曾出现过10个三角函数，但你从未听说过它们，例如半正弦 ()? 外割线 () 等

[1]：美国讽刺新闻媒体，译者注。

如上图所示，一个单位圆和一整屏的三角函数线。 在这些密集的三角函数名称中，有我们熟悉的正弦、余弦和正切，分别标记为红色、蓝色和黄棕色[2]。 另外，图中未标注逆向量()和逆协向量()。

[2]：的缩写，tan，在英语中就是黄褐色的意思，译者注。

无论你想用它们来折磨你的学生（培养他们的能力）还是提高你自己的技能（展示你的博学以获得青睐），作者阅读了大量的数学史料并进行了科学文献研究（关于维基百科）得到以下10个“缺失三角函数”的定义：

我不得不承认，当我查看上面的内容时，我有点失望。 它们只是 \sin 和 \cos 上简单运算的组合。 为什么历史上还留有他们的名字？！ 此时此刻，我可以躺在沙发上，使用在线计算器立即得到任何角度的正弦值，精确到小数点后 100 位。 正向量不需要存在。 但这个看似不必要的功能在那里并不存在。 计算器时代满足了一些需求。

最近[3]发布了一个关于对数表的视频，向我们介绍了在没有计算器的“黑暗”时代人们是如何计算大数乘法的。 首先，我们回顾一下对数运算。 如果 b^y =x，则有 y=\log_b{x}。 例如，从10^2=100，我们可以得到\log_{10}{100}=2。 对数具有运算属性： \log_b(c\cdot d)=\log_b{c}+\log_b{d} 。 换句话说，对数可以将两个数的乘法变成两个数的加法。 如果要使用对数表来计算两个大数的乘积，则需要在对数表中找到这两个数字对应的对数，然后将它们相加，然后从对数表中找到哪个数字的对数之和刚刚添加的数字。 你找到的数字就是答案。 这个过程现在看来相当繁琐，但如果手工计算，垂直表达式中大数乘法所需的计算量显然比加法大得多。 每一次额外的计算都会花费更多的时间。 （也容易产生更多错误）。 如果找到一种方法将乘法变成加法，这无疑会节省时间并提高准确性。

[3]：2013年9月，译者注。

这些神秘的三角函数，如对数，使计算变得更简单。 正弦和半扇形是最常用的。 对于角度 \theta\ 、 \cos\theta\ 1 。 那么当你做包含 1- 的方程时，计算 \cos\theta 时，如果你的余弦表中没有足够的有效数字，你的计算将无法进行。 例如，\cos 5^\circ = 0.\cdots、\cos1^\circ = 0. . 然后减去两个 \cos1^\circ - \cos5^\circ = 0. . 如果你的余弦表保留三位有效数字，那么减法后就只剩下一位有效数字。 而只有一位有效数字的三余弦表无法区分\cos1^\circ 和\cos0^\circ 的值。 大多数情况下，这并不是什么大问题，但如果在计算过程中产生累积误差，那就很麻烦了。 。

这 10 个三角函数的另一个优点是它们都是非负的。 正向量在0到2之间，所以当我们使用对数表计算正向量的乘法时，我们不需要担心负数求对数的问题（0虽然没有对数，但它是很容易解决）。 另一个优点是正向量和半正向量可以避免平方运算。 我们高中时学过这个三角公式 1-\cos\theta = 2\sin^2\ frac{\theta}{2}

。 也就是说，θ的正向量是\sin^2\frac{\theta}{2}的两倍。 类似地，θ的协向量是\cos^2\frac{\theta}{2}的两倍。 次。 那么如果我们要计算正弦或余弦的平方，只需要查找两倍角度的直向量或协向量即可。

半正弦向量是一个相对容易定义的三角函数。 它最早的使用可以追溯到公元400年的印度[4]。 然而，当半正弦矢量应用于导航时，半正弦矢量就变得更加重要。 半正弦向量变得更加重要。 矢量公式是使用经度和纬度获取球体上任意两点之间的球面距离的准确方法。 半正弦公式可以看成是球余弦定理的修改，但是使用半正弦对于圆心角较小的情况更有用（当然对于接近90度的圆心角不太好用）[5]。 通过半正弦公式，无需进行昂贵的平方根运算即可获得精确的球面距离。 直到1984年，业余天文杂志《Sky&》仍然对半正弦公式大唱赞歌，因为它除了适用于地球导航外，还适用于天体运动的计算。

[4]：(V) 中某些单词的已知用法，作者注。

[5]：这主要是指通过三角函数表计算出的结果的准确性。 译者注，公式本身是正确的。

我对列表中其他几个三角函数的历史了解不多。 它们的目的是为了使某些角度的计算更加精确或更简单，但我不知道其中哪些用得比较多，哪些用得比较少。

《洋葱新闻》编造的事情往往来自现实生活中的坏事，但这篇报道背后的真相并没有让我感到沮丧。 现在我们是不是可以这么轻松地进行乘法、平方、平方根运算了？ 多么幸运。 并且计算器可以“存储”角度的正弦、余弦和正切值[6]。 在此之前，人们还需要处理一堆奇怪的三角函数。 之所以定义这些奇怪的三角函数的原因已经逐渐被遗忘。 其实，并不是那些可恶的数学老师想折磨我们，强迫我们简单的背下来，而是他们可以让我们计算的更快，更不容易出错。 如今，计算器已经发展得如此强大， 已经像 3.5 英寸软盘一样消失了。

[6]：其实计算器存储的并不是三角函数的值，而是获取三角函数值的算法，译者注。

文章最后我想岔开话题，对一些数学名词的前缀做一些讨论。 这里提前预告一下，不感兴趣的朋友可以直接跳过。

在10个三角函数定义表中，前缀ha代表一半，例如一半。 前缀co表示使用θ的余角(90^\circ-\theta)的三角函数来代替θ三角函数。 例如，\cos\theta 是\theta 补角的\sin 值。 这也是一个补角。

但当我看到它的时候我很困惑。 如果用刚才的解释的话，那么 和 应该是同一个三角函数。 但事实是 \{}\theta 是 \theta 的补角 (180^\circ-\theta)\ {} 值。 除了用 1-\cos\theta 和 1+\cos\theta 定义外，总和还可以这样定义： \{}\theta=2\sin^2\dfrac{\theta}{2} 和\{ }\theta=2\cos^2\dfrac{\theta}{2} 。 但我认为前一个定义应该比包含平方项的定义更早出现。 我的猜测是，它后来以三角函数的形式出现，是从包含平方项的定义中类推得出的。 如果您对三角函数的历史有一些研究并能提供相关资料，请与我联系！ 不管怎样，该表为理解这些前缀的含义提供了有趣的素材。

[7]：作者、译者注。

译者的话

当认识数学的李想老师向我们推荐这篇文章时，橘子老君第一眼就被文章的图片吸引了。 单位圆内的终端边生成的每条线段都被赋予了三角函数。三角函数有不同的名称。 当我读到这些现在被遗忘的三角函数如何优化历史上的三角计算时，橘子老君和作者一样想到了对数。

与这些被废弃的三角函数不同，人们虽然不再需要使用对数表来计算大数乘法，但仍然使用和发展对数运算和对数函数。 当我们给高中生教对数时，他们往往只是干巴巴地给出对数运算的定义和性质，然后进行诸如计算 8^{1-\log_2{10}} 之类的练习。 幸运的是，对数“化乘为加”的这段历史已经被越来越多的高中老师引入到课堂教学中，并用来纠正\lg(a+b)=\lg等“化加为乘” (a)\cdot\lg(b) 常见错误。

著名数学教育家弗莱登塔尔曾这样描述数学的表达形式：

任何数学思想都不会以与发现时相同的形式发表。 一个问题解决后，相应地转化为形式技术。 结果，解决方案被放弃，热门发明变冷。 美丽。

中国著名数学教育家张殿舟先生也指出，数学教学的目标之一就是将数学知识的学术形式转变为教育形式。 数学教师的任务就是回归自然，将数学的形式逻辑链条恢复到原来的数学。 家庭发明和创新的火热思维。 只有通过思考，我们才能最终理解这种冷酷的美。

回到三角函数的话题，今天我们的中学课本还保留了\sin、\cos、\tan、\cot、\sec、\csc这六个三角函数，而科学计算器只保留了\sin、\cos和\ \tan 三个函数，在介绍了六个三角函数的定义并引出一系列三角公式之后，我们是否也可以引导学生思考，我们到底为什么保留这些三角函数和这组公式呢？ 各个三角函数的公式和公式有什么用处？ 能否进一步精简？

就归纳公式而言，当我们可以用计算器求出任意角度的三角函数时，无需先将其转换为[0,90^\circ]的角度，然后再查阅三角函数表获取角度的三角函数。 。 那么我们的记忆诱导公式有什么用呢？ 如果让学生在没有解释的情况下死记硬背公式，然后让学生做一堆化简\sin(\dfrac{3}{2}\pi-\alpha) 这样的练习，会让学生很难养成主动的学习行为。 在这种情况下，学生学习数学的动机主要是基于完成练习和应对考试，而不是数学本身。 我在这里并不是要提倡某种建构主义理论或拒绝教科书。 知识的权威性完全是根据学生已有的认知来建构知识，更不用说以极端的HPM视角来兜售教学，让学生想象回到“黑暗”时代重新创建三角函数表。 事实上，教师完全可以通过这样一个问题来激发学生学习归纳公式：“y=\sin(x+\dfrac{\pi}{5}) 和 y=\cos(x+\dfrac{7}{10 }\pi) 不是相同的函数吗？”。

但在实际教学中，学习动机的引导却始终没有受到足够的重视。 令人担忧的是，学生应对考试的积极性从来没有被认为是一个问题。 学生们似乎已经习惯了数学的冰冷。 然后一些激烈的思考就会变得低效和多余。

几年前，我读过张殿洲先生的文章中的一段，是一位生活在美国的中国数学老师谈论中美教育差距。 最后我摘录在这里。 结合多年未获得IMO金牌的痛苦，希望能给大家一些思考：

单变量微积分是美国科学和数学高中的必修课（美国可能有几十所），大多数学生选修多元微积分和线性代数。 喜欢物理的学生也学常微分方程和偏微分方程。 。 美国的优秀学子不断地往前爬，而中国的优秀学子却天天做高考题。 在最容易吸收知识、最容易开始思考人生的年纪，必然要面对考试。 基础扎实才能发展，志存高远不盲目。 打基础就意味着“空转”，而“空转”的危害不仅仅局限于知识的缺乏，更严重的是，它带来了人生目标的缩小。 优秀的美国学生学习先修课程，接触前沿科学。 更重要的是，他们开阔了数学视野，树立了远大理想。 但可悲的是问一些中国高中生，你的理想是什么？ 答案居然是“考上北大、清华”。