13.4 项目学习的最短路径问题
能够利用轴对称解决简单的最短路径问题，理解图形的变化在解决最优值问题中的作用，理解思想的转变。
利用轴对称性将最短路径问题转化为“两点之间最短线段”的问题。
探索发现“最短路径”解法，并确定最短路径的绘制和推理。
一师一优班一班一师（设计师：）
1. 创建场景并明确目标
如图所示，从A点到B点有3条路可供选择，哪条路最短？ 你的理由是什么？
前面我们研究过“在所有连接两点的直线中，线段最短”、“在连接直线外一点和直线上所有点的所有线段中，垂直线段是最短的”等问题。最短路径问题”等。我们称之为最短路径问题。 现实生活中经常涉及选择最短路径的问题。 本节将运用数学知识来探讨数学史上著名的“将军饮马问题”。
2. 自主学习和目标导向
自学教材第85页至87页，思考以下问题：
1、求直线两侧的两点与直线上的一点连接的线段之和最小，只要两点相连，与直线的交点就是想要的点。 依据是连接两点的所有直线中，线段最短。
2、求直线同侧的两点与直线上的一点所连接的线段之和最小，只要找到其中一个点相对于直线的对称点即可，并将对称点连接到另一点，那么与直线的交点就是你想要的。
3． 在求解最短路径问题时，我们通常会利用轴对称、平移等变化，将已知问题转化为易于求解的问题，从而做出最短路径的选择。
3. 协作探索并实现目标
探索最短路径问题
活动一：相传古希腊亚历山大城有一位著名学者，名叫海伦。 有一天，一位将军专程拜访海伦，就一个令人费解的问题请教：
从图中的A点开始，去一条笔直的河流喝马，然后去B点。他会去河上的什么地方喝马，这样他才能走最短的路线呢？
精通数学和物理的海伦想了想，利用轴对称的知识回答了这个问题。 这个问题后来被称为“将军饮马问题”。 你能把这个问题抽象成一个数学问题吗？
后续问题1 这是一个实际问题，你首先要做什么？ 答案：将地点 A 和 B 抽象为两点，将河流 l 抽象为一条直线。
后续问题2：你能用你自己的语言解释这个问题的含义，并将其抽象成一个数学问题吗？
答案：（1）从A地出发，去河边喝马，然后去B地； （2）河边喝马的地方无穷无尽。 两条线段将这些地方与A、B连接起来。长度之和就是从A到饮马再到B的距离之和； (3) 现在的问题是如何找到直线l上使两条线段长度之和最短的点。 假设C是直线上的移动点，则上述问题转化为：当C点在l的哪个位置时，AC与CB之和最小（如图）。 问题2：如图所示，A点和B点在直线l的同侧，C点是直线上的移动点。 当C点在l的什么位置时，AC与CB之和最小？
后续问题1：针对问题2，如何将B点“移动”到l另一边的B'处，使得直线l上的任意C点都能保持CB和CB'的长度相等？
问题2：你能利用轴对称的相关知识求出满足上题条件的B′点吗？
显示评论： 操作方法：
(1) 构造B点关于直线l的对称点B′；
(2)连线AB′与直线l交于C点。
那么C点就是我们想要的。
问题3 你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？
证明：如图所示，在直线l上选取任意一点C′（与C点不重合），连接AC′，BC′，B′C′。 根据轴对称性，
BC = B′C，BC′ = B′C′。
∴AC + BC = AC + B′C = AB′，
AC′＋BC′＝AC′＋B′C′。
于△AB′C′中，AB′<AC′+B′C′，
∴AC+BC<AC′+BC′。 即AC+BC最短。
小组讨论：证明AC+BC最短时，为什么要在直线l上选取任意点C′（与C点不重合）来证明AC+BC<AC′+BC′？ 这里的“C′”有什么作用呢？
反思总结：利用轴对称变换和性质，将不在直线上的两条线段变换成直线，然后利用“两点之间最短线段”来解决问题。 利用三角形的三边关系，若直线l上任意点（与C点不重合）与A、B点的距离之和大于AC+BC，则表示AC+BC为最小的。 C′表示除C点以外的直线l上的任意点。
为了训练：
1、如图所示，A、B是河同一边的两个村庄。 现在需要在河上建一个泵站，为两个村庄供水。 泵站应该建在哪里才能使所需的管道最短？ 请在图片中显示出来。
答：如下图所示，关于B点关于l作对称点B′，连AB′与l交于P点，P点即为所需点。
2、如图所示，一艘游船从AB桥P到山脚Q处接游客，然后将游客送到BC河岸，然后返回P。请画出最短路径旅游船的。
答：画Q关于直线BC的对称点Q′，连接PQ′并使BC与R相交，
∴游船路线：P—Q—R—P。
桥梁建设选址问题
活动二：（建桥位置问题）如图所示，A、B分别在一条河的两边。 现在我们想在河上建一座 MN 桥。 哪里可以建桥使从A到B的最短路径AMNB？ （假设河流两岸是平行直线，那么桥梁必须垂直于河流。）
显示注释：从A到B的路线是A→M→N→B，如图所示，MN是固定值，所以要使距离最短，AM+BN最短。
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