本节详细解释了衍生品定价的底层逻辑。

从效用函数的引入到风险偏好，抛硬币游戏的例子被类比为期权定价。 通过最简单的例子，构造一个无套利的投资组合，证明未来的预期不能简单地用现实概率来计算来给衍生品定价，从而导致复制定价。 风险中性概率的方法和推导。

实用功能

效用函数f(x)除非通过心理学实验很难测量，但它对经济社会具有很强的解释力。 给定您的 x 价值金钱，您的效用（满意度）用 f(x) 表示。 f(x) 可以是 log(x),x^2,\sqrt{x},x^{\frac{1}{3}},ax 等。

示例 1：在抛硬币游戏中，正面为 100，反面为 0，每个概率为 0.5。 你愿意为这款游戏支付多少钱？

U(x) = 0.5* (U(0) + U(100)) 付出的价格 x 造成的效用损失等于预期效用

然后我们求解 x

如果效用函数是风险厌恶的，例如效用函数是\sqrt{x}，则游戏的价格是25。

\sqrt{25} = 0.5 * 0 + 0.5*\sqrt{100}

如果效用函数是风险中性且为 x，则为 50。

如果追求风险，效用函数为x^2，则定价为50\sqrt{2}。

所以我们发现效用函数越凸，人们越厌恶风险。 如果是线性的，则风险中性。 如果是向下凸的，那就是风险寻求，对于风险博弈追求者来说，定价>中性>厌恶。

那么效用函数、风险偏好和衍生品定价之间有何关系呢？

抛硬币游戏与衍生品定价有何关系？

错误的简单现实平均定价

例2：考虑最简单的经济情况（一步双向，无风险利率为0），当前股价为96，未来一年有50%的概率为92或102，则无风险利率为0%，即货币市场借100，还100。那么价格为100的欧式看涨期权价格是多少呢？

使用 50% 的现实概率来计算看涨期权未来回报的简单平均值，我们得到 1。

(最大值(0,92-100)*0.5+最大值(0,102-100)*0.5) *e^{-0*1} = 1

这种定价方法乍一看似乎没有问题，就像我们在示例1中直接使用100和0的平均值来找到50一样，但它经不起更详细的测试。 如果看涨期权真的定价为1元，我们可以直接构建投资组合，无风险赚钱！

如果我们卖出10个看涨期权，再借182元，就可以得到192元，足够买两只股票。

那么当未来股价上涨到102时，我们将获得的收益为p：

p = (2*102) - (10* 2) - 182 = 2

股票收益减去期权损失再减去还款

那么当未来股价跌至92时，我们将获得的回报为p：

p = (2*92) - (10*0)-182 = 2

无论走势如何，我们都会获得2元的稳定利润，这就是无风险套利。

解释：

这种寻找简单期望的定价方法是错误的，因为我们缺乏市场的效用函数，所以我们不能像例1那样直接正面解决问题。

复制期权定价

这部分可以写得很深，很数学，但是我们先从前面的例子2开始，然后加上一般情况的数学公式的推导。

还是在示例2中，未来有两种状态（股价92或102）。 这里正好有两种证券。 无风险利率为0，可以看成投资100，收益100的债券。另一种证券是股票。 因此，我们称这个市场为完整市场。 一个完整市场的必要条件是资产的数量至少要与状态的数量一样多，这将在后面详细讨论。

因此，我们可以使用债券和股票的某种组合来完美地复制两种未来状态下的看涨期权付款。

如果我们购买 0.2 股并以 18.4 美元的价格借钱（出售债券）：

那么当未来股价上涨到102时，我们将获得的收益为p：

p = (0.2*102) - 18.4 = 2

股票收益减去期权损失再减去还款

那么当未来股价跌至92时，我们将获得的回报为p：

p = (0.2*92) - 18.4 = 0

就是这样！ 如果将来调用，那么按理说，当前的调用价格应该等于组合的价格：

= 0.2*96-18.4 = 0.8

总结：

通过复制期权，我们发现为它们定价既不需要真实概率也不需要效用函数（风险偏好程度）！ 只要我们手头有足够的选择，我们就可以对抗足够的不确定性（已知的）。

然而，当前价格是未来回报概率的平均值，这仍然是一个根深蒂固的公理。 下面我们结合目前的情况，结合一个新的概率测度，或者换句话说，回答一个问题，什么是风险中性概率？

介绍风险中性概率的推导和风险中性定价的原理

在这一部分中，我们回答一个常见问题，为什么这个概率被称为风险中性？

继续使用示例2中的设置

假设我们的市场是风险中性的，那么效用函数是线性的：

U(x) =x

那么类比例1，我们可以写出下面的等式： 这里乘以1是因为无风险利率（贴现率）为0，未来的一美元等于现在的一美元。

p*U(102*1)+(1-p)*U(92*1) = U(96*1)

所以我们反求解一个新的概率 p：

p=0.4

因为 p 在效用函数风险中性时求解，所以我们将其称为风险中性概率。

然后：

= p*2 + (1-p)*0=0.8

这与我们使用复制期权定价的结果一致！

这是风险中性定价的基本原则。

对情况的更一般的描述

用两个最简单的例子来解释衍生品定价的逻辑。 让我们用数学公式（更一般的情况）来结束最后一部分。

最后一部分是给出复制期权法和风险中性定价法的更通用的框架：

我们首先给出四个概念：

o 资产 资产价格

N 种不同证券在时间 t 的价格

o 世界未来状态

o 收益矩阵

N 种证券在 K 州的支付表现

o 投资组合权重

因此复制期权定价方法可以表示为

θD = d

d 是我们想要复制的证券的未来时刻，因此给定 D 和 d 我们可以求解 theta。

那么，证券的当前价值就是复制该证券的组成部分的加权当前价格。 :

p = θS_0^{'}

则风险中性定价方法可表示为

D\phi=d

这里的 phi 代表风险中性概率，需要 >0。 它是一个K*1列向量，满足任何资产的未来加权平均以获得其现值。

然后我们有：

p = S_0 \phi