不幸的消息：这个月我上网课，并没有太注意我写的圆形几何笔记。 我把它们放在草稿堆里，交给我爸爸当练习书法的纸（呃，因为我还没有把它们输入到电脑里，所以这个计划可能要推迟很长一段时间了。

我已经研究衍生品几个月了。 最近在研究真题。 不得不说，有些高考题看似简单，却暗藏飞刀。 今天我们就来看看2018年第三卷的衍生品，至于为什么会有隐藏飞刀，我慢慢告诉你。

我们先忽略问题（1），看第二个问题“对人畜无害”。

当我们看到最大点这个话题时，我们脑海中首先闪现的一定是这里的一阶导数等于0，并且两边的一阶导数都是先正后负。 事实上，这是极值点的第一个充分条件。 内容之一。 当然，也有同学认为二阶导数小于0，是极值点的第二充分条件之一。 有了这两个大方向，我们不妨求导数，看看会发生什么： f'(x)=(2ax+1)ln(x+1)+\frac{ax^{2}+x+2} { x+1}-2

细心的同学可能会发现f'(0)=0和a的值没有任何关系。 好吧，那么我们必须看看二阶导数的符号。 毕竟，二阶导数的符号与一阶导数相关。 增加或减少。

f''(x)=2aln(x+1)+\frac{3ax^{2}+4ax+x}{(x+1)^{2}}

代入x=0，化简：f''(0)=0。

？ ？ ？ 很多学生很困惑。 这件事已经持续了这么久，与此无关。 我们怎样才能继续？

这样分析之后，你知道这道题为什么隐藏着一把飞刀了吗？ 按照常规思维，到了这一步你就会卡住了。 如果你不构造一个像标准答案那样神奇的函数，或者改变枢轴元素，那几乎就没有路可走了。

然而，极值点有第一个和第二个充分条件。 你有没有想过极值点的第三个充分条件？

如果函数f(x)在x_{0}邻域有n阶连续导数，且f^{(k)}(x_{0})=0，(k=1,2,3... n- 1) , f^{n}(x_{0})\ne0 ，当n为奇数时，x_{0}不是极值点（是拐点），当n为偶数时， x_{0} 是极值点。

很多同学可能也知道这个结论，但是它的严格证明需要一些高深的数学内容。 不过幸运的是，对于这道题，我们只需要解释一下，当三阶导数等于0时，四阶导数不等于0，我们看看如何不使用它。 泰勒展开式等手段来说明。

f^{(3)}(x)=\frac{2ax^{2}+6ax+6a-x+1}{(x+1)^{3}}，令 f^{(3)}(0 )=0，可得 a=-\frac{1}{6}

设h(x)=2ax^{2}+6ax+6a-x+1，则h'(x)=4ax+6a-1，

测试可知h'(0)=-2，即f^{(4)}(0)

充分性：由于 f^{(4)}(0) 和 f^{(4)}(x) 在定义域中连续，因此存在 0">\delta >0 使得当 x\in (-\ delta ， \delta)，则有 f^{(4)}(x)。

因此，当 x\in (-\delta ,\delta) 时，f^{(3)}(x) 单调递减。

又因为 f^{(3)}(0)=0，当 x\in (-\delta ,0), 0">f^{(3)}(x)>0 时，当 x\in [ 0 ， \delta), f^{(3)}(x)\leq0

同理，我们可以得到f^{(2)}(x)的单调性

又因为f^{(2)}(0)=0，可见当x\in (-\delta,\delta)时，f^{(2)}(x)\leq0，当且仅当x=0时取等号。

因此，f'(x)在x\in (-\delta ,\delta)上单调递减，又因为f'(0)=0，所以当x\in (-\delta ,0), 0">f ' (x)>0，当x\in (0,\delta)时，f'(x)，只有当x=0时，f'(x)=0。因此，a=-\frac{1}{6} ，x=0是f(x)的最大值点。

必然性：当a\ne-\frac{1}{6}时，f^{(3)}(0) (0">f^{(3)}(0)>0相同)，此时存在 0">\delta >0，因此当 x\in (-\delta ,\delta) 时，总有 f^{(3)}(x)。

此时，f^{(2)}(x)在这个区间内不断减小，并且在x\in (-\delta ,0), 0">f^{(2)}(x)>0上，当 x\in [0 ,\delta) 时，f^{(2)}(x)\leq0。

分析可知此时的f'(x)\leq0，所以此时x=0并不是极值。

通过上面的分析，你看出上面的内容了吗？ 事实上，这是一个套娃的过程。 如果这一阶的导数总是大于（小于）零，那么下一阶的导数一定是单调的，并且下一阶的导数也总是大于（小于）零……直到分析完一阶导数。 如果该点是极值点，根据极值点的第一个充分条件，该点周围的一阶导数一定是区间单调的，因此二阶导数一定总是大于（小于）零，并且三阶导数必须是单调的。 ..这样，偶数阶导数必须始终大于（小于）零，而奇数阶导数必须是单调的。 这也从另一个角度解释了极值点的第三个充分条件。

当然，可能有人会指出，我上面的证明使用了连续函数的局部符号保存定理。 这确实是一个问题。 至于考试时能不能这样写，我不敢保证。 希望对各位同学有所帮助，如有错误请在评论区指出。