大多数学过微积分的同学都会遇到一个问题，那就是导数和微分有什么区别？ 为什么有时说函数可微，有时又说函数可微？

几乎所有的老师都会向大家强调，在一个变量的函数中，可微性和可微性是同一件事，是等价的。 这就提出了一个问题：为什么所有教科书都会两次教授两个相同的概念？

事实上，重复两个等效概念两次可能有两个原因。 首先，虽然这两个概念是等价的，但表达的内涵不同； 第二，在未来的推广中，两个概念可能会有所不同。 笔者认为，可微性和可微性有着不同的内涵，也会产生功能提升的差异。

我们中学时学过一次函数：

y=kx+b

线性函数是一条直线，有一个非常好的性质，即当自变量改变Δx时，y改变kΔx。 可以说，最好研究的函数是幂函数，而最好研究的幂函数是线性函数。

线性函数简单而优美的性质让分析师着迷，但不幸的是，线性函数太少了。 分析师处理的几乎所有函数都不是线性函数，而是像 f(x)=2sin(x^2)+cos(3x) 这样难以绘制的函数。

然而，分析师意识到（数百年前的）功能更加流畅。 这意味着，虽然函数在整个区间内极度扭曲，但如果缩小区间，函数的扭曲就会减少。 此外，分析人士认为，对于一个函数，如果将一个点x_0锚定在其相对较小的邻域内，则该函数可以用线性函数来近似。 用数学语言写出来就是：

f(x)=f(x_0)+AΔx+\alpha(Δx)

或者：

f(x)-f(x_0)=AΔx+\alpha(Δx)

其中，α(Δx)为误差函数。 注意，加上误差函数后，上面的公式就严格成立了。

然而，这似乎没有什么意义：误差函数本质上是线性函数 f(x_0)+AΔx 和 f(x) 之间的差。 要要求误差函数，您仍然需要知道 f(x)，它陷入逻辑循环。

分析人士意识到，用线性函数代替函数本质上是不可行的，现在需要做的就是在一个小邻域内逼近该函数。 因此，我们不需要知道误差函数的具体情况。 我们只需要让误差函数在足够接近x_0时显得不显着。 再看这个公式，我们发现它由两部分组成：前一部分的线性函数和后一部分的误差。 所谓误差不显着是指当x足够接近x_0时，误差值与估计值\frac{\alpha(Δx)}{AΔx}之比足够小。

这个想法似乎很容易理解。 比如我们要估计某个值，在目前的技术水平下，误差可以控制在1以内，最终估计的是1000，也就是说相对误差在0.001以内，可以说是相对误差准确的。

但两者的区别在于，在实际工程技术中，存在一个相对误差阈值，满足这个条件就足够了（比如上面的0.001）。 但在数学理论中，这个阈值是如何确定的呢？ 我们尝试将这个要求翻译成数学语言，所谓“当x足够接近x_0时，误差值与估计值\frac{\alpha(Δx)}{AΔx}的比值足够小”。 是不是意味着：

\lim_{x\ x_0}\frac{\alpha(Δx)}{AΔx}=0

也就是说，只要误差α(Δx)是Δx的高阶无穷小，我们就可以有效地逼近原函数在x_0附近。 这正是可微函数的定义：

假设函数 y=f(x) 定义在点 x_0 的邻域内。 若对于任意x\in U(x_0)，则f(x)-f(x_0)=AΔx+\alpha(Δx)成立，其中A是仅与点x_0相关的常数（线性逼近函数的斜率） , α(Δx) 是比 Δx 更高阶的无穷小，则称该函数在此时可微。 其中，AΔx称为线性主部分（主要部分，因为误差很小）。 注意dy=AΔx，称为y的微分。

我们来谈谈函数可微性的内涵。 事实上，f(x)-f(x_0)=AΔx+\alpha(Δx)对于任何函数都可以成立，因为有一个误差函数来保证其准确性。 但如果误差函数太大，这样的近似就没有意义了。 因此，我们将误差函数限制为仅一个高阶无穷小量，这保证了在该点附近使用线性函数逼近原函数的有效性，或者说，这是一个有意义的逼近。 可见，“误差函数是一个高阶无穷小量”是逼近的本质。 否则，近似意义不大。

我们形象地说明函数微分的意义：想象一下，存在一个函数在某一点x_0处可微，这意味着在该点附近用线性函数逼近该函数是可行的。 我们拿着一根细长的木棍，将其中点放在x_0处，然后将木棍的斜率调整为等于A。此时，木棍在x_0点附近更好地逼近函数。

换句话说，微分一个函数就是一个具体的动作或者操作，我们用一根木棍来代替这个函数。

现在的问题是，常数A如何确定？ 换句话说，如果一个函数在 x_0 处可微，我们应该使用什么斜率来近似它（如何适当地放置棍子）？ 为此，我们将微分两边除以 Δx 即可得到：

\frac{f(x)-f(x_0)}{Δx}=A+\frac{\alpha(Δx)}{Δx}

令Δx→0，即

\lim_{Δx→0}\frac{f(x)-f(x_0)}{Δx}=\lim_{Δx→0}(A+\frac{\alpha(Δx)}{Δx})=A+0 =A

可以看出，如果一个函数在x_0点可微，那么就会有极限

\lim_{Δx→0}\frac{f(x)-f(x_0)}{Δx}

我们将上面的极限称为 f(x) 在 x_0 处的导数，记为 f'(x_0)，并称函数此时可微。

从上面的推导过程可以看出，如果一个函数在某一点可微，那么它在该点一定是可微的。 相反，如果函数在某一点可微，则存在极限：

\lim_{Δx→0}\frac{f(x)-f(x_0)}{Δx}=f'(x_0)

那么我们可以将上式等价表示为：

\frac{f(x)-f(x_0)}{Δx}=f'(x_0)+α(Δx)，其中 α(Δx) 是无穷小量 (Δx→0)

从而：

{f(x)-f(x_0)}=f'(x_0)Δx+α(Δx)Δx，显然α(Δx)Δx是Δx的高阶无穷小量（直接商验证）。 设f'(x_0)=A，这意味着函数此时可微。

换句话说，如果一个函数在一点可微，那么它在该点也一定是可微的。 可见，可微性和可微性在一个变量的函数中是等价的。

下面我们就来揭示这两个等价概念的不同内涵。

上面已经描述了取微分的内涵：用一次函数逼近函数是一种具体的运算。 对点x_0求导就得到一个新的对应值，即它的导数值f'(x_0)。 其实这是一个新的映射（函数），即导函数。 由于可微性和可微性是等价的，我们也可以这样理解：取微分就是画一个线性函数，可以更好地逼近该点附近的函数； 求导就是给出该线性函数的斜率。 一是画直线，二是给出斜率。 读者应该理解两者内涵的区别。

这就是导数和微分内涵的区别。

在（2）多元函数中，可微性比可微性强得多。 我们按照上面的说法，可微是指在点(x_0,y_0)附近可以画一个平面来逼近该函数，其误差函数应该是距离r的高阶无穷小。

我们很容易想到，如果一个二元函数在点 (x_0, y_0) 处可微，则意味着该函数在任意方向上都可微。 如果不是，则该函数在某一方向上不可微，那么作为一个变量的函数，该函数在该方向上不可微，则该函数在这一点上不可微。 这表明可以导出可微性。

然而，在坐标轴方向上存在偏导数并不一定意味着该函数是可微的。 这是因为偏导数仅描述了坐标轴方向上的变化状态，而没有给出其他方向上的变化状态的任何信息。 此外，即使存在任何方向偏导数，该函数也不一定是可微的。

这表明在多元函数中，可微性比可微性强得多。

至此，我们从内涵和推广两个方面讲了差价和衍生品的区别。 希望读者能够理解并祝您一切顺利。