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上次的主要内容是曲线坐标系和一点初步的微分几何。

本笔记主要内容包括：二进制数和四元数； 复函数和解析函数； 复杂函数的积分； 复变函数级数论； 和留数定理。 我们先快速梳理一下复杂变量函数的框架，帮助大家掌握重要的公式和脉络，后面还会有手写笔记。

复数是二进制数，单位二进制数e^{i\theta}可以表示\{R}^2（即众所周知的SO(2)群）中的旋转。 将二进制数展开后，我们得到了四元数。 单位四元数可以表示\{R}^3中的旋转（直观上这是很自然的，因为四元数中的\{1,i,j,k\}可以与\{\{ I},-i\进行比较） ,-i\,-i\}对应，SU(2)群是SO(3)群的双覆盖群)。

引入复数的概念后，我们定义了简单连通区域和复连通区域，然后引入了复函数的概念：

f(z)=u(x,y)+iv(x,y)

有了复变函数之后，我们可以通过可微性引入解析函数，其中CR条件是复变函数是解析函数的必要条件：

\dfrac{\ u}{\ x} = \dfrac{\ v}{\ y}, \ \dfrac{\ u}{\ y} = -\dfrac{\ v}{\ x}

基于解析函数的概念，我们引入了复变量函数的积分，并推导了柯西定理（这里我们将柯西定理写在复连通区域下。另外，我们还规定所有循环的积分方向相同） ）：

\\ f(z) dz = \sum_k\oint_{l_k} f(z) dz

有界区域的柯西积分公式（注意 f(z) 必须是单值解析函数）：

\ f(a) = \dfrac{1}{2\pi i}\ \dfrac{f(z)}{za}dz \

解析函数高阶导数的计算公式：

\ f^{(n)}(a) = \dfrac{n!}{2\pi i}\ \dfrac{f(z)}{(za)^{n+1}}dz

有了复函数积分的基础，我们就可以引入复函数级数理论了。 在，

(1) 泰勒级数展开形式为：

\begin{align*} &f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n(za)^n \\ &a_n=\frac{1}{2 \pi i} \ \frac{f( \zeta)}{(\zeta-a)^{n+1}} \{~d} \zeta=\frac{f^{(n)}(a)}{n !}, \end{align* }

(2) 洛朗级数的展开形式为(R_1