这次我们简单讲一下如何将众所周知的伽马函数扩展到复平面，并使用之前介绍的工具来探索其性质。

在数学分析中，我们的伽玛函数被定义为参数化变量积分： \Gamma(s)=\int_0^\infty t^{s-1}e^{-t}\,dt 。 这个积分对于任意0">s>0都是收敛的。我们还知道：gamma函数在正整数点n处的值对应(n-1)!，满足\Gamma(s+1)=s\ Gamma(s)与余数公式\Gamma(s)\Gamma(1-s)=\frac{\pi}{\sin s\pi}\ (0.

自然延续基于以下发现： 当 0">s\in \{C},\Re s>0, \int_0^\infty t^{s-1}e^{-t}\,dt Still克制。

这是因为：我们可以将 \int_0^\infty t^{s-1}e^{-t}\,dt 写为 \lim_{\\ 0}\int_\^{\frac{1}{\}} t^{s-1}e^{-t}\,dt ，并考虑 F_\(s)=\int_\^{\frac{1}{\}} t^{s-1}e^{- t}\,dt。 很容易发现它在右半平面上是全纯的（带参数变量的积分的全纯性可以由连续性+关于参数的全纯性组合得出）。 接下来考虑 |\Gamma(s)-F_\(s)|\leq |\int_0^\|+|\int_{\frac{1}{\}}^\infty|\leq \int_0^\ e ^{ -t}t^{\Re s-1}dt+\int_{\frac{1}{\}}^\infty e^{-t}t^{\Re s-1}dt 可以发现收敛性为持续的。 因此，全纯函数序列的一致极限一定是全纯的，这表明\Gamma函数的积分表示的定义可以自然解析地扩展到右半平面！

一个好的结果是： \Gamma(s+1)=s\Gamma(s) 和 \Gamma(s)\Gamma(1-s)=\frac{\pi}{\sin s\ pi}\ ( 0 保证对所有 0">\Re s>0 为真。（全纯函数的唯一性定理）

此外，这使我们能够将伽玛函数扩展到整个复平面。 这里有两个常用的想法。 我们先介绍一下利用递归性质来开发的思路：

注意\Gamma(s+1)=s\Gamma(s)，我们现在想要将右半平面上的全纯函数扩展到整个复平面。 那么一个自然的想法就是将左半平面分成宽度为1的垂直条带，使用0\Re(s+1)>0，所以我们完全可以考虑函数： \frac{\Gamma(s+1 ) {s}。 这显然是-1">\Re s>-1上的亚纯函数，以0为一阶极点。而当0">\Re s>0时，其值等于\Gamma(s)，所以它确实是gamma函数的扩展！

当然，对于 -m,m\in \{N}">\Re s>-m,m\in \{N} 的情况，我们可以类比并考虑函数： \frac{\Gamma(s +m )}{s(s+1)...(s+m-1)} （这种构造的原因是 gamma 函数的递归性质）。这就是 -m">\Re s>-m 的亚纯的函数，以 0,-1,...,-m+1 作为一阶极点。 而当0">\Re s>0时，它的值就等于\Gamma(s)，所以它确实是gamma函数的延续！（很容易发现它是在现有的亚纯区域中构建的。的延续也符合） 从m的任意性我们立刻知道gamma函数可以亚纯展开到整个复平面，并且只有0,-1,-2,...是一阶极点。最后，顺便求一下这样一个亚纯扩展伽玛函数在每个极点的留数，根据级数的相关知识，我们可以很容易地求出伽玛函数在-n极点的留数为： \frac{\伽马(s+n+1)}{s(s+1)...(s+n)}(s+n)|_{s=-n}=\frac{(-1 )^{n} {n！} 。

上面利用伽玛函数的递归性质构建的亚纯展开可谓简单明了。 不幸的是，这种开发方法并不通用。 下面我们将介绍伽玛函数的另一种开发方式，这将有助于我们稍后理解伽玛函数的其他性质。

我们考虑伽玛函数\Gamma(s)=\int_0^\infty t^{s-1}e^{-t}\,dt的积分定义，并考虑开发的难点出现在哪里。 即：当\Re s\leq 0 时，这个积分的哪一部分有问题？

我们发现：如果将积分拆分为\int_0^1 t^{s-1}e^{-t}\,dt+\int_1^\infty t^{s-1}e^{-t}\, dt ，那么问题就全部出在前面的积分上。 这是因为 \int_1^\infty t^{s-1}e^{-t}\,dt 对于所有 s\in \{C} 来说是一致收敛的，即它始终是积分函数！

那么既然问题出在\int_0^1 t^{s-1}e^{-t}\,dt这一项上，我们该如何开发呢？ 一个有趣且常见的方法是寻找其“等效形式”。 即是否可以在现有的全纯域中找到与这个积分等价的另一种形式（例如级数），并且这种形式可能比这个积分有更宽的定义域，并且可以自然展开。

注意到这里积分函数中出现了e^{-t}，很自然地想到利用幂级数展开来改变求和符号和积分符号的顺序，将积分转换成它的“等价”级数，以寻求更自然的开拓之路。 请注意，由于一致收敛， \int_0^1 t^{s-1}e^{-t}\,dt=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n !(n+s)} 对于 0">\Re s>0 总是成立。观察这个级数，我们发现虽然它是一个具有无限项求和的级数，但它实际上贡献了“奇异性”，并且极点只有有限项。

具体解释：考虑到 s\in D(0,R)，我们将级数分成 \sum_{n=0}^{2R}\frac{(-1)^n}{n!(n+s )} 和\sum_{n=2R+1}^\infty\frac{(-1)^n}{n!(n+s)}。 对于后者， |\sum_{n=2R+1}^\infty\frac{(-1)^n}{n!(n+s)}|\leq \sum_{n=2R+1}^\ infty \frac{1}{n!R} 一致收敛，因此它是全纯的。 对于前者， \sum_{n=0}^{2R}\frac{(-1)^n}{n!(n+s)} 贡献 0,-1,...,-R+1 作为D(0,R)内部的一阶极点，我们也可以在极点处找到它的留数（更明显）。

也就是我们通过分裂积分来找到问题，找到问题的“等价形式”。 伽玛函数表示如下：

\Gamma(s)=\int_1^\infty t^{s-1}e^{-t}\,dt+\sum_{n=2R+1}^\infty\frac{(-1)^n}{ n!(n+s)}+\sum_{n=0}^{2R}\frac{(-1)^n}{n!(n+s)},\s\in D(0,R)

前两项是积分函数，而第三项贡献了所有奇点。

最后，我们要了解伽马函数的结构。 结合之前提到的因子分解定理，我们想要对伽玛函数进行类似的分解。 但不幸的是：伽马函数不是积分函数。 但这不是问题，因为注意到gamma函数没有零点（余元公式），所以\frac{1}{\Gamma(s)}是积分函数，所有零点都是一阶零点 0,-1 ,-2,... 。 因此，如果我们可以证明 \frac{1}{\Gamma(s)} 具有有限的增长阶数，那么我们就可以对其应用因式分解定理并找出其结构！

因此下面我们考虑\frac{1}{\Gamma(s)}的增长顺序。 遇到的第一个问题是：倒计时如何处理？ 这个很简单，只要使用残差公式 \frac{1}{\Gamma(s)}=\frac{\Gamma(1-s)\sin \pi s}{\pi} 即可。接下来，使用 \Gamma(s )=\int_1^\infty t^{s-1}e^{-t}\,dt+\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n }{n!(n+s ）} 得到

\frac{1}{\Gamma(s)}=\frac{\sin \pi s}{\pi}\int_1^\infty t^{-s}e^{-t}\,dt+\frac{\ sin \pi s}{\pi} \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n!(n+1-s)} 。

注意，对于第一项的估计，可以利用定积分的绝对值不等式来估计积分，其增长阶数不超过e^{\Re s\log\Re s}。 对于\sin的估计，可以使用欧拉公式。

对于第二项，其估计取决于 s 的位置。 当\Im s足够大时，其增长率不会超过e^{C|s|}。 当\Im s 足够小时，首先找到最接近\Re s 的整数k。 那么当n=k-1时，由\frac{(-1)^{k-1}}{(k-1)!(ks)}引起的较大模数会受到\sin \pi s的影响，有一个边界因为取消。 对于其他n\neq k-1，则|n+1-s| 总是足够大，所以 n! 自然地保证了级数的收敛性和有界性。

这个简单的估计告诉我们： \s\in \{C},|\frac{1}{\Gamma(s)}|\leq C_1e^{C_2|s|log|s|} 。 也就是说，对于0">\ \ >0，我们总是可以保证\frac{1}{\Gamma(s)}的增长阶数不超过1+\，即它的增长阶数为1。(注意：这并不意味着 \frac{1}{\Gamma(s)} 是 O(e^{C|s|})，我在定义增长顺序时已经强调了两者的区别！我们可以证明不存在 O(e ^{C|s|})，只有 0,-1,-2,... 是一阶零点的积分函数。）至于 \frac{1}{\Gamma(s )}，不是 O(e^ {C|s|})，对于正整数 k，考虑 \frac{1}{\Gamma(-k-\frac{1}{2})} 来证明它的模始终不小于 \frac{ k!}{\pi} 。

最后，当一切准备就绪后，我们只需应用 \frac{1}{\Gamma(s)} 的因式分解定理，它是增长阶 1 的积分函数。

\frac{1}{\Gamma(s)}=e^{as+b}s\(1+\frac{s}{n})e^{-\frac{s}{n}} ，下面我们求a和b的值。

请注意，\Gamma(s) 在 0 处扩展的主要部分是 \frac{1}{s}，因此使用 \lim_{s\ 0}s\Gamma(s)=1，我们得到 b=0。

注意\Gamma(1)=1，所以e^{-a}=\(1+\frac{1}{n})e^{-\frac{1}{n}}。 我们可能会感到困惑，想知道它如何帮助解决 a，但我们可以推断：

e^{-a}=\^{-\frac{1}{n}+\log(1+\frac{1}{n})}=e^{\sum_n[-\frac{1}{n} }+\log(1+\frac{1}{n})]}

=\lim_{N\ \infty}e^{\log(N+1)-\sum_{n=1}^N\frac{1}{n}}=e^{-\gamma} ( \gamma 为欧拉常数）

这太棒了！ 谁会想到a会是欧拉常数？ 伽玛函数的无限乘积展开实际上与欧拉常数有关！

因此，我们得到\frac{1}{\Gamma(s)}=e^{\gamma s}s\(1+\frac{s}{n})e^{-\frac{s}{n} }，是伽玛函数的分解。 从这个重要的分解开始，我们可以获得几乎所有关于伽马函数渐近性质的命题。

最后，我在这里列出伽玛函数的一些属性和推论（总是默认为复平面上的亚纯函数），它们或多或少可以用伽玛函数的无限乘积来表达：

1. 对于任何不是 gamma 函数极点的 s，\Gamma(s)=\lim_{n\\infty}\frac{n^sn!}{s(s+1)...(s+n) }。

2. (的规则) \Gamma(s)\Gamma(s+\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}2^{1-2s}\Gamma(2s)

3. 定义 beta 函数 B(\alpha,\beta)=\int_0^1(1-t)^{\alpha-1}t^{\beta -1}\,dt for 0,\Re \beta> 0 ">\Re\alpha>0,\Re \beta>0 ，则实数域中的关系为 B(\alpha,\beta)=\frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta) {\Gamma (\alpha+\beta)} 仍然成立。

4、从积分变换的角度来看，gamma函数就是e^{-t}的变换。 将 f 的变换定义为：\int_0^\infty f(t)t^{z-1}\,dt。 那么对于 0