本科论文题目：构造辅助函数在微积分中的应用 学生姓名：XXX 学号：专业：数学与应用数学 指导老师：XXX 学院：数学科学学院 2012 年 5 月 18 日 毕业论文（设计）内容 论文简介（设计）题目 构造辅助函数在微积分中的应用 选题时间 2011.10.25 完成时间 2012.5.18 论文（设计）字数 6860 关键词 构造辅助函数、连续函数、微分中值定理、积分中值定理、不等式论文（设计）来源、理论和现实意义： 论文选题的来源和理论：在听取导师建议的基础上，通过查阅相关资料和学习教材，选定了本文的选题。 构造辅助函数的思想是数学中重要的思维方法。 它在数学学习中有着广泛的应用。 它属于数学思维方法中的构造方法。 所谓构造法，就是根据零件或结论的特点和性质，构造出满足条件或结论的数学模型，并利用数学模型解决数学问题的方法。 它具有两个显着的特点：直观性和可行性。 正是这两个特点使其广泛应用于解决数学问题。 实用意义：构造方法的特点是化繁为简、化抽象为直观。 其核心是根据主体条件的特点，适当构建新的形式。 用它来解决较复杂的数学问题，对于培养学生数字与形状相结合的思维和思维能力，以及培养学生的创新能力有很大帮助。

论文（设计）主要内容及创新点： 主要内容： 1、构造辅助函数在证明连续函数相关性质中的应用； 2. 构造辅助函数在证明微分中值定理中的应用 3. 构造辅助函数在积分中的应用 在证明值定理中的应用； 4.构造辅助函数在证明不等式中的应用。 5、总结微积分应用中构造辅助函数的一些原理和方法。 创新点：在前面总结多项式构造在微积分证明中的应用，主要是微积分中值定理的基础上，介绍一些利用微积分中值定理构造辅助函数解决数学问题的例子。 ，总结了微积分应用中构造辅助函数的一些原理和方法。 附件：论文（设计）本人签名：2012年5月18日第页第1页内容目录\o“1-2”\h\z\u\l“”中文摘要1\l“”英文摘要1\l“”简介2 \l "" 1. 构造辅助函数在证明连续函数性质中的应用 2 \l "" 1.1 连续函数的相关性质及其证明 2 \l "" 1.2 利用零点定理构造辅助函数解决问题 4 \l "" 2. 构造辅助函数在微分中值定理证明中的应用 5 \l "" 2.1 微分中值定理及其证明 5 \l "" 2.2 利用微分中值定理构造辅助函数解决问题 9 \l "" 3. 构造辅助函数在证明积分中值定理中的应用 10 \l "" 3.1 积分中值定理及其证明 10 \l "" 3.2 应用积分中值定理构造辅助函数解题 12 \l "" 4.构造辅助函数在证明不等式中的应用。 14 \l "" 5. 总结 16 \l "" 5.1 构造辅助函数的原则总结 16 \l "" 5.2 构造辅助函数的方法总结 17 \l "" 结论 17 \l "" 参考文献 18 构造辅助函数在微积分中应用在回答问题时的一些原则和方法。 关键词：构造辅助函数； 连续函数； 一变量微积分； 定理; 不等式 The of in : an is an in ． 由一个可以证明一些和一些与，并且使用这些可以证明一些。 一些和。 : ; ; 和 ; ;. 引言构造辅助函数的思想是数学中重要的思维方法。 它在数学中有着广泛的应用。 它属于数学思维方法中的构造方法。 所谓构造法，就是根据零件或结论的特点和性质，构造出满足条件或结论的数学模型，并利用这个数学模型来解决数学问题的方法。 它具有两个显着的特点：直观性和可行性。 正是这两个特性在数学应用中经常被用到。 构造方法的特点是化繁为简、化抽象为直观。 构造方法思想的核心是根据问题条件的特点，适当构造新的形式。 本文将从以下四个方面讨论辅助函数的选择和构造： 1、构造辅助函数在证明连续函数相关性质中的应用； 2、构造辅助函数在证明微分中值定理中的应用； 3.构造辅助函数函数在证明积分中值定理中的应用； 4.构造辅助函数在证明不等式中的应用。 最后，基于以上四个方面的应用，总结了辅助功能构建的一些原则、方法和注意事项。 1. 构造辅助函数在连续函数性质证明中的应用 1.1 连续函数的相关性质及其证明定理 1.1.1（最小值存在定理） 如果一个函数在闭区间上连续，那么它必须上有最大和 最小值，即存在性和和，对一切都成立。 定理1.1.2（极大值存在定理的扩展） 如果函数在开区间上连续，并且 和 都是有限值，则 (1) 如果存在，使得 ，则可以取其中的最大值。 (2) 如果存在，则可以内部求最小值。 证明（1）如果我们不断地利用闭区间，做一个辅助函数，那么它将是[上的连续函数，所以在[上可以得到最大值，因为存在，所以最大值点不可能是a或b. 那么我们将最大值设置为 。 如果，那么它也是上的最大值，所以它是内的最大值点。 如果，则由问题可知， 是其中的最大值点。 综上可知，可以在范围内得到最大值。 同理，(2)可得证。 进一步推广最大值定理，将开区间扩展到(-+)，即： 定理1.1.3(最大值存在定理的再推广) 如果函数在(-+)上连续，且 和 都是有限值，则 (1) 如果(-+)存在，则可以在(-+)内求得最大值。 (2) 如果(-+)存在，则可以在(-+)内求最小值。 为了证明这个定理，我们可以利用定理2的结论，构造一个辅助函数，其中 是到(-+)的映射，满足定义域是，只要是连续的，就有连续性。 这可以用定理2的结论来证明。 定理1.1.4（零点存在定理） 如果一个函数在闭区间上连续，且 ，则它必定存在使得 。 定理1.1.5（中值定理）如果一个函数在闭区间连续，那么它一定能够达到最大值和最小值之间的任意值。 通过最优值存在定理证明，存在 ，使得 。不妨设