师生探索：紧跟着三角函数的定义来求解，首先要找到末端的某一点。 终点在哪里？ 应该决定哪一点呢？ 有什么要点或者特别点吗？ 灵活一点，只要你能算出三角函数值，什么都可以。

取特殊点可以使计算更加简单。 课堂练习：p19 问题 2。（改编）填写表格：

角度α（角度）

0°

90°

180°

270°

360°

角度 α（弧度）

正弦α

余弦α

坦α

处理：要求拿分并用定义来解决，对计算过程提出问题和评论，理解和巩固定义。

强调：终止边在坐标轴上的角度称为轴角，如0、π/2、π、3π/2等，以后经常会出现轴角的三角函数值使用。 这些值必须结合三角函数的定义来记忆。

设计方案：

适时安排自学实例和自制教材习题，概括性与特殊性相结合，进行适当的变体练习，巩固和加深对三角函数概念的理解。 通过积极的课堂实践活动，进行思维训练，将“培养学生分析问题、解决问题的能力”贯穿于每一次课堂教学。

(7) 回顾总结并建立网络

要求全体学生根据老师提出的问题进行总结和笔记，提出问题并检查和强调：

1. 如何将锐角三角函数的定义推广到任意角度？ 或者任意角度的三角函数具体是如何定义的？ （建立直角坐标系，使角的顶点与坐标原点重合，---，并在末端随机选择一个点p，---）

2. 如何确定并记住正弦、余弦和正切函数的定义域？ （根据定义，------）

3． 你如何记住正弦、余弦和正切函数值的符号？ （根据定义，想象一下坐标位置，-----）

设计方案：

遗忘的规律是先快速遗忘，然后慢慢遗忘。 回顾和再现是记忆的重要方式。 最好及时总结课堂上记忆的主要内容。 这里要求学生以提问的形式概括本课的主要内容，抓住要点。 人人参与，及时构建知识网络，优化知识结构，培养认知能力。

(8)布置课外作业

1. 书面作业：练习 4.3 的问题 3、4 和 5。

2.仔细阅读p22《阅读材料：三角函数与欧拉》，了解欧拉的一生和贡献，尤其是他对科学的奉献和坚持！ 有兴趣的同学可以上网查一下欧拉的相关资料。

1.本节教材的理解

三角函数是描述周期性运动现象的重要数学模型，有着非常广泛的应用。

星星之火，可以燎原。

以直角坐标系为工具，可以自然地推广直角三角形的简单边角关系，得到任意角度三角函数的简明定义。 牢牢掌握这个宝贵的三角函数定义来源，我们自然就能推导出三角函数的直线和定义。 定义域、符号判断、值域、同角三角函数关系、多组归纳公式、多组变换公式、辅助角度公式、图像与性质。 本章教材就是对这些内容的具体安排。 定义直接用于解析几何（如线斜率公式、极坐标、某些曲线的参数方程等），定义仍然是直接解决某些问题的工具。 三角函数知识是物理学、高等数学、测量学和天文学的重要基础。

三角函数的定义一定是学好整章内容的关键。 如果学生掌握不好，将直接影响后续内容的学习。 三角函数定义的基本性质和广泛应用决定了教材这一部分的重点是定义本身。

2、教学方法处理

数学教科书通常使用抽象的、形式化的数学书面语言来解释其知识和方法。 教师只能通过教学方法进行加工，始终贯彻“以学生发展为本”的科学教育理念，“把数学的学术形式转化为教育”。 “形”（张殿周语），引导学生主动从事思维活动，直接参与和体验数学知识产生和发展的背景和过程，回归自然，揭示本质，体验思想和方法。 。 只有这样，学生才能真正理解和掌握数学知识和方法，有效地开发智力、培养能力。

本节教材中，三角函数的定义是重点，三角函数的直线是难点。 为了更好地突出重点、突破难点，分散重点、难点，同时兼顾实例与课堂练习的协调配合，我们不会按照教材的顺序。 教学，第一课布置三角函数的定义（突出重点）、定义域、符号判断、例题1、2和p19课堂练习1、2、3。第二课布置三角函数线、p15练习（突破难点）、归纳公式1、教材例题3、4等练习。 本课例属于第一课。

教学经验表明，三角函数的定义“简单易记”，很容易被学生鄙视。 很多学生死记硬背，一知半解。 本课例坚持“教师主导、学生为中心”的原则，采用“启发探索、讲授与实践相结合”的方式，在常规教学方法的基础上，围绕学生设计一系列符合学生认知规律的方案。 '学生最近发展区的学习目标。 多媒体辅助教学动画展示了比例与角度之间的依赖关系，拓展了思维活动的时间和空间，力求让所有学生主动参与、主动思考，体验定义生成和发展的过程，通过理解知识、发展能力。思考过程。

将六个比率放在一起研究，并给出六个三角函数的定义，可以增强对比感和整体感。 至于教学大纲对两组函数的掌握和理解的不同要求，只需在下一步教学中注意区分即可。 。

关于教学中符号sinα、cosα、tanα的排列，教材首先命名对比值并给出英文表示法，然后研究它们与α之间的函数关系； 另外，可以先研究这六个比率与α之间的函数关系，然后给出这六个比率的命名符号。 后者能更好地突出函数的内涵，揭示三角函数的本质。 本课采用后者来组织教学。

3、教学过程分析（见教案中穿插的设计意图）。

任意角度的三角函数课程复习手稿第 2 部分

1.利用单位圆来理解任意角度的三角函数的定义。

2. 根据三角函数的定义，可以确定三角函数值的符号。

3、通过学生主动参与知识的“发现”和“形成”过程，培养做出合理猜测的能力，感受数学概念的严谨性和科学性。

4.让学生在形成任意角度三角函数概念的过程中体验函数的思想以及数字与形状结合的思想。

要点：任意角度的正弦、余弦、正切的定义； 三角函数值的符号。

难点：任意角三角函数概念的构造过程。

教学流程：

现实世界中的许多运动变化都是循环且重复的。 这种变化模式称为周期性。 如何用数学来描述这种变化呢？ 从本课开始，我们将学习描绘这种模式的数学模型之一——三角函数。

三角函数是与角度有关的函数。 在学习任意角度的概念时，我们知道，研究直角坐标系中的角度可以给学习带来很多方便。 例如，我们可以根据角的端边位置对角进行分类。 现在我们考虑一下：如果我们在直角坐标系中研究锐角，我们如何定义锐角三角函数？

学生情况估计：学生可以提出两种定义，一种定义为边的比例，另一种定义将端边上的点p的坐标引入比例中。

问题：

1. 锐角三角函数可以用二比法表示吗？

2. p 点可以位于终止边的其他位置吗？ 为什么？

3. p点在哪里，比值会更简单？ （导致单位圆的定义）。 指出函数 sina = mp 仍然表示一个比率，但它的分母是 1。

练习：计算各种三角函数的值。

角度的概念已经延伸到任意角度，那么任意角度范围内的三角函数的定义如何定义呢？

尝试：根据锐角三角函数的定义，你能尝试给出任意角度三角函数的定义吗？

评估学生给出的定义。 给出任意角度的三角函数的定义。

三角函数首先是函数。 你能从泛函的角度分析三角函数吗？ （领域）

对于某个角度a，上述三个函数的值是唯一确定的。 因此，正弦、余弦、正切都是以角度为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标之比为函数值的函数。 我们将它们统称为三角函数。 由于角度集合和实数集合之间可以建立一一对应关系，因此三角函数可以被视为自变量为实数的函数。

1. 给定角度，求 a 的三角函数值。

2.给定角a的端点上的点p(-3,-4)，求每个三角函数的值。

以上书中的两个例子可以让学生自行研究、阅读。 学生阅读时，老师提出问题：

1. 如何求已知角度的三角函数的值？

2. 三角函数也可以用角a 的端点上任意一点的坐标来定义。 你能给出这个定义吗？ （这个定义和课本上给出的定义有什么特点？）

3.变式：给定角a的端点上的点p(-3b,-4b)和(b0)，求出角a的各三角函数的值。

4.探究：三角函数在各象限的值的符号。

课程计划设计说明：

新教材的教学理念之一就是让学生体验新知识的生成过程。 本节《任意角的三角函数》的教案主要是围绕这一点来设计的。

首先，角的概念被推广了，那么锐角三角函数的定义是否也应该推广到任意角三角函数的定义呢？ 通过这个问题，学生可以认识到新知识的发生是可能的、自然的。

其次，我们应该如何合理定义任意角度的三角函数？ 让学生提出自己的想法，同时让学生鉴定这个想法是否科学？ 因为一个概念是严谨的、科学的，它不能随意编造，必须论证它的合理性。 至少这个概念不能与锐角三角函数的定义相冲突。 在这个建立-解构的过程中，让学生体验到一个新的数学概念是如何形成的，以及在形成过程中可以从哪些角度进行科学论证。 这也将帮助学生从任何角度理解三角函数的概念。

再次，让学生充分理解在任意角三角函数定义的推广中，将直角三角形的“形状”问题转化为直角坐标系中点的坐标“数”的过程。 培养数字和形状相结合的想法。

任意角度的三角函数课程复习手稿第3部分

尊敬的各位领导、老师们：

我课的题目是《任意角的三角函数》，内容摘自人民教育出版社出版的普通高中课程标准实验教材《数学》（必修）第1.2.1节。

本节在全书和章节中的地位： 三角函数是描述周期运动现象的重要数学模型，有着非常广泛的应用。 结合初中锐角三角函数的定义和刚刚学过的“角度概念的推广”，对三角函数的定义进行讨论和研究。 三角函数的定义是本章最基本的概念。 它对于三角学内容的整体学习至关重要，是所有其他知识的起点。 牢牢抓住三角函数定义的珍贵来源，我们自然可以推导出本章的具体内容：三角函数线、定义域、符号判断、取值范围、同角三角函数关系、多组三角函数。归纳公式、多组变换公式、图像和性质。 三角函数的定义在教科书中起着承前启后的作用。 一方面，通过这部分内容的学习，可以帮助学生更深入地理解函数的基本概念。 另一方面，也为平面向量、解析几何等内容的学习提供了基础。 做好必要的准备。 三角函数的知识也是物理学、高等数学、测量学和天文学的重要基础。

三角函数的定义一定是学好整章内容的关键。 如果学生掌握不好，将直接影响后续内容的学习。 三角函数定义的基本性质和广泛应用决定了教材这一部分的重点是定义本身。

数学思维与方法剖析：作为一名数学教师，我们不仅要向学生传授数学知识，更重要的是向学生传授数学思想和数学意识。 因此，在本课中，我们力求向学生展示如何尝试类比、数字与形状的结合等数学思维方法。

教学重点：任意角度三角函数的定义、三角函数的符号规则。

教学难点：任意角度三角函数概念的构造过程。

教学重点：如何思考建立直角坐标系； 六个比率的确定性（α确定，比率也确定）和依赖性（比率随着α变化而变化）。

学生掌握的内容和学生的学习能力

1.学生在初中学习了锐角三角函数的基本定义，掌握了求锐角三角函数的一些常识和方法。

2.学生的计算能力较差。

3.有些学生对学习数学非常感兴趣和热情。

4、探究问题的能力和合作沟通意识的发展不够均衡，必须在老师的一定指导下进行。

基于上述对教材结构和内容的分析，并考虑到学生现有的认知结构和心理特点，我制定了以下教学目标：

1.基础知识目标：使学生正确理解任意角的正弦、余弦、正切的定义，理解余切、正割、余割的定义；

2、能力培养目标：通过学生主动参与知识的“发现”和“形成”过程，培养做出合理猜测的能力。

3、情感目标：通过学习，渗透数形结合、类比的数学思想，培养学生良好的思维习惯。

接下来，为了明确重点和难点，使学生能够达到本节设定的教学目标，我谈一下教与学的方法：

在教学中，要注意运用新课程理念来对待传统教材。 学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模仿、实践，更需要自主探索、合作交流、师生互动。 教师应发挥组织者、引导者、合作者的作用。 ，引导学生参与、揭示本质、体验过程。

根据本课的内容、高一年级学生的认知特点以及我自己的教学风格，本课采用“启发与探索、讲授与实践相结合”的方式来组织教学方法。 在课堂结构上，①创设情境——揭示主题；②促进认知——形成概念；③巩固新知识——探索规律；④总结反思——提高理解；⑤推迟任务——自主探索五个层次的学习方法，环环相扣、环环相扣。深入，从而顺利完成教学目标。 接下来我就详细的讲一下这堂课的教学过程：

一般来说，由旧到新，由易到难，逐步加强，逐步推进。 给出定义后，通过定义的应用逐渐发现新的知识，并扩展和完善定义。

从初中直角三角形中锐角三角函数的定义开始，过渡到直角坐标系中锐角三角函数的定义，再发展到初中中任意角三角函数的定义。直角坐标系。

(一)创设情境——揭示话题

问题一：初中的时候，我们学过锐角三角函数。 那么锐角三角函数是如何定义的呢？

【设计意图】学生在初中学习了锐角三角函数的概念。 现在学习任意角度的三角函数就是一个泛化和扩展的过程（类似于从有理数到实数的扩展）。 温故知新，要让学生了解知识的产生和发展过程，必须从源头入手，从学生已有的认知状态出发，而锐角三角函数的复习至关重要。

问题二：角度概念推广后，三角函数的这个定义还适用吗？

问题3：如果将锐角放入直角坐标系中，能否用角端点的坐标来表示锐角三角函数？

留出时间让学生独立思考或自由讨论，教师参与讨论或巡视，对学困生进行启发和引导。

可以表达一下吗？ 怎么表达呢？ 请学生回答刚才的问题。 利用角的对边、邻边、斜边之比的想法显然受到阻碍。 由于笛卡尔坐标系已被用作研究任意角度的工具，学生一般会认为（否则老师会提示）继续使用笛卡尔坐标系。 研究任意角度的三角函数。

【设计方案】

从学生已有的知识水平和认知能力出发，创设问题场景，引起学生的认知冲突，提供必要的启发，引导学生的思维进入自主探索、合作交流的“再创造”之旅。

老师对学生的回答进行了点评，然后布置了一个任务场景：要求学生重新学习使用直角坐标系的锐三角函数的定义！

教师和学生一起工作（学生听写，教师在黑板上写下图形和比例）。

问题4：对于某个角度，这三个比值与p在端侧的位置有关吗？ 为什么？

首先让学生想象、思考并做出主观判断，然后引导学生观察右边的图片。

联系相似三角形的知识，探索发现：对于锐角α的每一个确定值，

这六个比率都是确定的，不会随着p在终端边缘的移动而改变。

结论（强调后加）：当α为锐角时，六个比值随α的变化而变化； 但对于锐角α的每一个确定值，这六个比率是确定的，并且不会随着末端侧的p而改变。 它随着移动而变化。 因此，这六个比率是以角度α为自变量、比率为函数值的函数。

(2) 促进认知——形成概念

将锐角的比例扩展到任意角度α之后，这是理所当然的。 师生共同探讨和归纳：任意角度的三角函数的定义。 同时老师强调：由于弧度系建立了角度与实数的一一对应关系，所以三角函数是以实数为自变量的函数，这对于数学好的学生起到了很好的指导作用学习能力。

老师指出sinα、cosα、tanα的定义域必须根据三角函数的定义来记忆。 cotα、cscα 和 secα 的定义域不需要记忆。

（关于取值范围，我们稍后再详细了解）

【设计意图】定义域是函数的三要素之一。 要研究函数，必须明确定义域。 引导学生根据定义自主探究并确定三角函数的定义域，有利于在理解的基础上记忆和应用，也增强了对函数的理解。 掌握三角函数的概念。

(3)巩固新知识——探索规律

为了使学生对知识达到更深层次的理解进而达到巩固和提高的效果，

例1. 如果角的终边经过该点，求六个三角函数值

要求：读完题后思考：要计算什么？ 需要准备什么？ 闭着眼睛心算，和黑板上写的比较，模仿书面的表达格式。

巩固定义后，我特地设计了一套即时训练题，以巩固和加深对三角函数概念的理解，通过活跃的课堂实践活动，培养学生分析问题、解决问题的能力。

示例 2. 求正弦、余弦和正切值。

分析： 终端侧有无穷多个点。 根据三角函数的定义，只要知道终端侧任意点的坐标，就可以计算出该角度的三角函数值（或判断为无意义）。

师生探索：紧跟着三角函数的定义来求解，首先要找到末端的某一点。 终点在哪里？ 应该决定哪一点呢？ 有什么要点，或者有什么特别的点吗？ 灵活一点，只要你能算出三角函数值，什么都可以。

取特殊点可以使计算更加简单。

当学生基本理解和掌握了三角函数的定义后，观察分析初高中计算的函数值的变化，让学生认识到三角函数的正负值与三角函数的正负值有关。角度的象限，然后引导学生紧紧掌握三角函数。 分析函数定义，推导出三角函数的正负值与角度的象限之间的关系，然后教师总结符号记忆方法，以方便学生记忆。

【设计意图】判断三角函数值的正负号是本章教材的重要知识技能要求。 引导学生掌握定义，结合数字和形状来判断和记忆三角函数值的正负号，总结图像中“蔡”字的符号规则，也是理解和记忆的关键。

（四）总结与反思——提高认识

学生总结本课学习的主要内容：（1）任意角度三角函数的定义及定义域； (2)三角函数的符号规则。 通过知识内容的总结，学生可以将课堂教学中传授的知识尽快转化为学生的素质； 通过数学思维方法的总结，学生可以更深入地了解数学思维方法在解决问题中的地位和应用，逐步培养学生良好的人格品质目标。

（5）任务推迟——自主探索

经过以上四个环节的学习，学生初步掌握了任意角度三角函数的定义以及三角函数的符号规则。 他们需要进一步提高认知水平。 因此，我根据学生素质的差异，设计了分层作业，包括思维题的设计思路是：综合练习巩固提高，为下一节的学习内容打基础，留给学生去思考。课后独立探索。 这不仅使学生掌握基础知识，而且使学生的学习能力得到提高。 从而达到精益求精、“减负”的目的，有利于全体学生的发展。

sinα、cosα、tanα的左下侧写有cotα、cscα、secα的定义，突出了本节重要内容的主题地位。

结论：上面我只是从教材、学习情境、教学方法、学习方法、教学程序等方面阐述了“教什么”和“怎么教”，并阐明了“为什么这样教”。

希望各位领导、同事对本次讲座提出宝贵意见。

任意角度的三角函数课程复习手稿第 4 部分

尊敬的各位同事、各位专家：

我演讲的题目是《任意角的三角函数》，内容摘自江苏教育出版社高中实验教材《数学》第4卷1.2节

教学内容：任意角度三角函数的定义、定义域、三角函数值的符号。

地位与作用：任意角的三角函数是本章教学内容的基本概念，对于三角函数内容的整体学习至关重要。 同时也为平面向量、解析几何等内容的学习做好必要的准备。 通过这部分内容的学习，可以帮助学生更加深入地理解函数的基本概念。 因此，这个内容需要仔细讨论教材，精心设计流程。

教学重点：任意角度三角函数的定义

教学难点：正确理解三角函数可以看成以实数为自变量的函数，初中边长比定义的转换到坐标系中坐标比定义的概念，理解坐标定义的合理性；

学生掌握的内容、学生的学习能力

1.初中生已经了解了急性角度三角功能的基本定义，并掌握了一些常见的知识和方法来查找急性角度三角函数。

2.经过多年的初中课程改革，我们的地区已经发展了强大的自学能力，并且大多数学生对学习数学非常感兴趣和热情。

3.探索问题的能力的发展以及对合作和沟通的认识不够平衡。 它需要加强，必须在老师的指导下进行。

基于对教材的重要和困难内容的分析以及学生的实际状况，我们提出了教学目标，如下所示：

（1）三角函数以任意角度的定义； 三角函数的领域； 三角函数值的符号，

（1）理解并掌握任何角度的三角函数的定义；

（2）正确理解三角函数是具有实数作为自变量的函数；

（3）通过推导定义域和三角函数值的符号来提高学生分析，探索和解决问题的能力。

（1）学习和改变思想，（2）培养学生严格的学术和细致的科学精神；

必须根据学生的实际情况仔细设计教学方法，以实现教学目标。

教学：回顾过去，学习新事物并逐渐扩展

（1）基于审查初中急性角度三角功能的定义，逐步扩展内容，发展新知识并形成新概念；

（2）通过解释和分析示例，逐渐引入新知识并改善三角形的定义

使用多媒体工具

（1）提高直觉和兴趣。

教学过程分析

一般来说，从旧到新，从易于到困难，

逐渐增强，逐渐发展

首先，让我们从初中右三角形的急性三角功能开始。

过渡到矩形坐标系中急性角三角函数的定义

然后发展到矩形坐标系中任何角度的三角函数的定义

给出定义后，通过应用定义扩展和改进定义，逐渐发现了新知识。

特定的教学过程安排

简介：评论问题：在初中定义的右三角形中急性角度的正弦余弦是如何切线的？

由学生回答

nina =对面/ = bc/ab

cosa =对面/ = ac/ab

tana =对面/ = bc/ac

逐渐扩展：在高中时，我们建立了笛卡尔坐标系，并将“定义介质”从右三角形更改为笛卡尔坐标系。

我们知道，通过促进角度的概念，在矩形坐标系中经常研究角度。 那么，可以在坐标系中研究三角函数的定义吗？

指导学生发现B的坐标与侧面长度之间的关系。他们进一步启发，发现由于相似三角形的相似性比，OB上的任何P点都可以代替B，而三角函数的定义是开发的是由终端侧的任何点的坐标表示，以便可以使用矩形坐标系定义急性角度三角函数。 ，自然地，如果要定义任何角三角函数，则应考虑将其放置在矩形坐标中并合理地定义它。

这样就得到了

知识点1：任何角度的三角函数的定义

提醒学生思考：由于相似性比相等，对于一定角度A，这三个比率的大小与角度P在角度端子的位置无关。

仔细设计示例以引入新内容，加深概念并改善定义

示例1众所周知，角度A的末端通过P（2，-3），找到角度A的三个三角函数值

（这个问题将由学生独立分析和完成）

示例问题的变体1。 众所周知，角度A的大小为30度。 根据定义找到角度A的三个三角函数。

结合变量，我们发现三个三角函数的值与角度的大小有关，并且只会随角度的大小而变化，这与函数的原始定义一致，我们一直称其为三角函数。

问一个问题：这三个新定义真的起作用吗？ 为什么？

这导致功能及其域

学生分析，讨论并得出结论

知识点2：三个三角函数的定义域

同时，教师强调：由于系统在角度和实数之间建立了一对一的对应关系，因此三角函数是具有实数作为自变量的函数。

示例变体2，鉴于角度A的末端通过p（-2a，-3a）（a不是0），请找到角度a的三个三角函数值

答案需要讨论变量的迹象，即角度的象限，以便学生可以意识到三角函数值的符号与角度的象限有关，从而导致第三个知识点

知识点3：三角函数的正值和负值与角度所在的象限之间的关系

学生得出结论，老师总结了符号记忆方法，以促进学生的记忆。

示例2：众所周知，A位于第二象限中，而Sina = 0。 2查找Cosa，塔娜

请塔娜

全面的练习巩固和改进，并在下一节中为相同关系奠定基础。

扩展，如果A的象限不限于限制，则可以进行课外讨论

班级内容的摘要回顾

课堂和课外分配，以增强知识保留和理解

课堂P16 1，2，4

（学生执行董事会，然后在小组中讨论和修改答案，并在同一桌子上讨论，并回答答案）

课后分层作业（有利于所有学生的发展）

必须做P23 1（2），5（2），6（2）（4）选择P23 3，4

黑板设计（请参阅PPT）