三角函数的诞生源于人们对“测量技术”的需要。 为了测量天球上的角度和距离，古希腊天文学家喜帕恰斯（，约公元前190年-约120年）创造了人类历史上第一张“和弦表”，也被称为三角学的创始人。
所谓“弦”是指连接圆上两点的线（更一般地，也可以指连接任意曲线上两点的线），如图1所示，假设∠AOB=α，即圆上的圆心角，则AB为圆心角对应的弦长。
图1 和弦图
想象一下 A 和 B 是天球上的两颗星星。 AB之间的距离等于喜帕恰斯弦。如果我们用现在熟悉的正弦来计算，我们有
弦(α)=AB=2r*sin(α/2)
其中，r为圆的半径； chord(α)表示与角度α对应的弦。 可见，喜帕恰斯的“和弦表”本质上就是一个正弦表。 “弦”的一半除以圆的半径就是正弦，因此正弦也称为半弦。 喜帕恰斯的“和弦表”的增量为 7.5 度，喜帕恰斯是第一个使用圆周 360 度系统的人。
图 2（约公元前 190 年 – 约公元前 120 年）
在喜帕恰斯之前几个世纪，古埃及人和巴比伦人已经积累了三角形边比的许多性质，但当时他们还没有角度的概念，也不会写出三角函数。 尤其是古巴比伦人在记录恒星的升降、行星运动以及日月食时，对天球进行了大量的角距测试。 甚至有人猜测古代巴比伦人的和弦图与喜帕恰斯的和弦图相似。 另一方面，古埃及的艾哈迈斯（约公元前1680-1620年）记录了这样一个与三角函数有关的问题：
“如果一座金字塔高 250 肘，底长 360 肘，那么它的角是多少？”
“肘”是古埃及的长度单位，又称腕尺，一般长18英寸（457毫米）。
图3 一肘的长度
艾哈迈斯用金字塔底边长度的一半与高度的比值来表示角度。 他将这种角度测量命名为“seked”，并用它来表示斜面的坡度。 现在我们知道 seked 是角度的余切值。
图4 金字塔角点测量平面图
在欧几里得的《几何原本》（写于公元前 300 年左右）中，命题 12 和 13 本质上给出了钝角和锐角余弦的公式。 例如，提案12是：
在钝角三角形中，钝角对边的平方（意思是平方）等于钝角两侧的平方和加上钝边乘以钝角延伸部分的长度向外并被该侧的垂直线切断。
如图5所示，△ABC是钝角三角形，BH与AC在H点的延长线垂直，则余弦公式为
AB2=AC2+BC2+2(AC)(CH)
这里，CH=(BC)cos(π-γ)=(BC)cos(γ)。 将其代入上式就是众所周知的余弦公式。
图5 欧几里得余弦定理
公元前3世纪，阿基米德提出了断弦定理，相当于现在三角函数的和差积公式。 断弦定理描述为：
如图所示，假设AB和BC在圆上构成断弦，BC>AB。 若M为ABC弦的中点，过M作垂直于BC的垂线，垂脚为D，则AB+BD=DC
图6 和差积示意图
推导后，上式等价于和差积公式（证明见图6）：
sin(xy)=- cosx 正弦
公元 100 年左右，希腊数学家和天文学家（约 70-140 年）撰写了三卷本《球体学》（公元 98 年左右）。 在第一卷中，他建立了球面三角形的原理。 结果发现，在球面上，只要三角形对应的角相等，两个球面三角形就相等，并且球面三角形的内角和大于180度。 这似乎是非欧几里得几何。
罗马时期居住在亚历山大的托勒密（约 90-168 年）在他的《天文学大成》中扩展了喜帕恰斯的和弦表。 托勒密给出了 1/2 增量的和弦表。 从 1/2 度到 180 度的和弦图。托勒密的和弦表是借助托勒密定理来检查的，托勒密定理给出了圆内接四边形的四个边与两条对角线之间的关系。 如图7所示，四个边与对角线的关系为：
图7 托勒密定理循环四边形
只要设AB、BC、CD对应的内切角（圆周角）分别为α、β、γ，以圆心角为圆周角的2倍，假设圆半径为r，则有
AB=2rsinα, BC=2r sinβ CD=2rsinγ
AD=2rsin(180o-(α+β+γ))
AC=2rsin(α+β)
BD=2rsin(β+γ)
代入托勒密定理，可得
就是我们现在熟悉的乘积和差分公式。 唯一的区别是托勒密使用和弦而不是熟悉的正弦和余弦。 托勒密还得到了半角公式的等价形式：
当然，有了积分和差分，就很容易推导出半角公式了。由于毕达哥拉斯已经知道了毕达哥拉斯定理，所以在三角运算中，很容易由毕达哥拉斯定理推导出三角恒等式，即
公元四、五世纪，三角学在印度得到了非常重要的发展。 天文著作中正确给出了正弦的定义。 后来印度数学家、天文学家（公元476-550年）用jya表示sine sin，kojya表示 cos，-jya表示正向量（1减去某个角度的余弦，即1-cosθ） ）在他的著作中。 jya 表示反正弦。
公元 9 世纪，阿拉伯-波斯数学家和天文学家穆罕默德·伊本·穆萨·花剌子米（Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī，约 780-约 850 年）首次提出了切线表； 阿拉伯人艾哈迈德·伊本·哈西卜（Ahmad ibn ' Hasib，766-869）给出了余切并完全应用了正弦、余弦、正切和余切； Al- (Al-, c.858–929) 发现了正割 (sec) 和余割 (csc) ) 函数，并为 1° 到 90° 的每个度数制作了第一个余割表。 至此，六种三角函数全部可用，以及三角函数之间的相互运算（如和差积、积和差积）。
图8 三位阿拉伯数学家和天文学家
三角函数的另一个问题是如何计算它们的值。 在古代文明中，与三角函数相关的计算常常需要使用和弦表或各种三角函数表，可见三角函数的计算并不容易。到了公元7世纪，印度数学家、天文学家巴斯卡拉一世（Bhāskara I，c. 600–c.680）给出了正弦函数的近似公式。 他第一次有了不用查表就能得到三角函数值的方法，比如
后来有学者证明，上式的求解误差小于1.9%。现在我们可以利用泰勒级数展开来求解三角函数，以获得更精确的解，例如
我们知道泰勒级数是基于导数运算的。 令人惊讶的是，印度河二世（Indus II，约 1114-1185，与之前的巴斯卡拉一世无关）和（约 1340 - 约 1425）先于牛顿，而 Ly Buniz 给出了一些关于微积分的想法。
例如，II提供了一种类似导数的方法来求解处理行星运动时的瞬时速度。 假设 x 和 y 是两个非常接近的数字。 II 提供以下公式：
上面的公式有一个导数函数。用我们今天的语言来说，当 y 接近 x 时，正弦函数的导数是
虽然他没有提出导数的概念，但显然他已经知道导数的运算，比牛顿和莱布尼茨早了近500年。 此外，II还给出了和差积的现代形式。
发现了正弦、余弦、反正切三角函数的无穷级数，它们与泰勒级数展开式非常相似。假设你知道某个角度θ的正弦和余弦值，你可以用级数求出角度的大小， 如下
该定理于 1667 年被苏格兰数学家詹姆斯（James，1638-1675）重新发现，并写为
这里，x=tanθ。正弦和余弦级数也被牛顿和莱布尼茨在17世纪重新发现。 1748年，欧拉给出了欧拉公式，例如
显然，欧拉公式的出现，大大简化了三角函数的计算。 1807年傅里叶建立傅里叶级数后，三角函数的应用从简单的测量转向电气工程、振动分析、声学、光学、计量经济学等领域，最终使三角函数——这一全球性课题服务于科学技术的进步以现代形式！
参考：
莫里斯·克莱因. 古今数学思想（第一卷）
玛丽亚. 从 到 。
