离散选择模型下的需求函数估计

2024-02-14 04:01:50 阅读 0

本文是 IO 需求估计方法的起点。文章除了介绍BLP的测量结构和算法外，还强调了重写模型的意义及其与之前的经典模型（Logit和Logit）的比较，强调了BLP引入的随机性。系数模型如何优于 MNL 和 Logit。它可以被认为是Berry 1994的一个特例，但它更出名的是因为它给出了数值积分和压缩映射的算法，从而可以应用特定的算法。 BLP 的另一个贡献是它还描述了供给方的特征，并指出联合估计需求和供给通常会产生更高的有效性。

需求方预估

要弄清楚BLP的优点，我们必须解释为什么之前的Logit会出现问题。

罗吉特

在经典的logit模型中，借助第一类极值分布，市场份额可以表示为（在以下所有数学表达式中，我们不单独强调价格，而是将其视为x的一部分） s_{ij} \equiv P\left(j \in \arg \max _{k \in C} u_{ik}\right)=\frac{\exp \left(\{x}_j^{\prime} \beta\right )}{\sum_{k \in C} \exp \left(\{x}_k^{\prime} \beta\right)}

I: Logit 的改进

显然，如何引入替代效应、如何解决价格内生性是最本质的问题。

为了解决IIA的问题（即试图引入某种替代效应），后来的一系列logit文献认为可以假设误差项，即出现了类似于下面的说法，其中g是人为划分的品类，这样的误差项显然是一个消费者i对同一品类不同品牌的$\$是相关的，从而构建了同一品类的替代效应。 \{ij}=\left(1-\\right) \nu_{ig}+\ e_{ij} 估计算法将相应复杂，需要 MLE 和 Loop。但Logit的问题在于，分类引入了人为干预，当Nest的结构比较复杂时，Nest的顺序会明显影响结果（以汽车为例，先按豪华-经济型分类，然后运动-舒适，反之亦然））。

改进二：

为了解决内生价格问题，Berry 1994首先提出可以加上不可观测质量$\xi$来解决。在这篇论文中，Berry 指出 $\xi$ 是解决这两个问题的核心假设：

Berry用$\delta$来代替乘积的效用，让我们不再关心如何估计一个$\beta$向量，减少了估计的参数。 Berry 讨论了三种情况，简单的 logit 或 logit 情况，或更一般的函数假设。

在简单logit假设下（即随机项iid服从第一类极值分布）仍然与上面的市场份额类似。此时，由于有外选，可写为 s_{jt}=\frac{\exp \left( \{jt}\right)}{1+\sum_k \exp \left(\{kt} \right)} 因此，使用所谓的 Berry，我们得到 $\{jt}=\ln s_{jt}-\ln s_{0 t}$。根据定义， \{jt}=x_{jt} \beta+\xi_{jt} 。因此，您可以执行 OLS 或在 $JT$ 维度（每种产品和每个市场）上使用面板。它的logit版本，当只有一层嵌套时（即只需要额外估计$\$），可以认为是固定的$\$，市场份额仍然可以显式求解，然后可以用logit方法做一次估计，然后得到错误，最后搜索$\$。最后，如果 $\$ 的分布是任意形式，则求解市场份额 (3) 将缺乏显式解，并且可能需要数值积分。该解决方案的目的是获得 $\delta$ 的估计，然后使用 GMM 来估计 $\beta$ （使用类似 $\ E[\left(\delta-x_t^{\prime} \beta\right )| z_t]=0$ 时刻条件)。

值得注意的是，Berry 1994 并没有对情况（3）给出明确的解决方案，而直接使用 Logit 的情况（2）可以理解为 Nest 的思想和不可观察质量的结合，只不过（2）使用了 ad -hoc分类模型（因此继承了Logit的所有缺点，例如依赖Nest order），而（3）直接假设随机项满足任意分布（因此自然允许不同产品之间存在相关性，也自然包括（2），但因为太笼统，相当于估计$J$产品的随机项的相关系数矩阵，参数数量太多）。

1995年BLP

随机系数要求是一系列尝试使用Logit思想来解决IIA的模型。本质是用更容易理解的方式引入随机项之间的相关性（而不是在Berry 1994（3）ad hoc相关系数矩阵的情况下使用待估计值）。 BLP本质上是Berry 1994的一个特例。虽然它看起来不像它最初的形式，但这就是我认为它包装得很好的地方。它假设效用函数是柯布-道格拉斯型，这使得 $x_{jt}\$ 中包括收入和价格的项可能是 $\ln(y_i-p_{jt})$ 而不是线性项，但这并不意味着Not core，Nevo使用拟线性效用函数来获得线性$y_i-p_{jt}$项。该术语不影响计算的性质，适用于不同的研究产品。例如，线性类型表示没有财富效应。它可能适合较便宜的产品（例如 Nevo 研究的即食谷物），而对数类型可能更适合较昂贵的产品（例如 BLP 研究的汽车） \begin{} u_{ijt} & =x_{jt} \+\xi_{jt}+\{ijt} \\ u_{i 0 t} & =\{i 0 t} \\ \ & =\beta+\ v_k \\ \left(\{i 0 t}, \ ldots, \{i J t}\right) & \sim \text { iid } \{EV}\\ v_k & \sim \text { iid }\{N(0,1)} \end {} 可以变换写为 \begin{} u_{ijt} & =x_{jt} \beta+\xi_{jt}+\mu_{ijt} \\ u_{i 0 t} & =\mu_{i 0 t } \\ \left (\mu_{i 0 t}, \ldots, \mu_{i J t}\right) & \sim \text{Some } \end{} 其中 $\mu$ 被视为新的随机数项，那么该项不是独立同分布的，可以认为是 Berry 94 的特殊分布。我们可以计算它的相关系数， \begin{} \{corr}\left(\mu_{ij}, \mu_{il }\right) & =\frac{\sum\ \^2 x_{jk} x_{lk}}{\sqrt{\left(\sum\ \^2 x_{jk}^2+\^2\right) \cdot\left( \sum\ \^2 x_{lk}^2+\^2\right)}} \\ \{corr}\left(\mu_{ij}, \mu_{i 0}\right) & =\frac{ \^2}{\sum\ \^2 x_{jk}^2+\^2}, \end{} 这样的相关系数的特点是，当产品 j 和产品的产品特征k 很接近，corr 相对较大，这体现了替代效应。

在这里我们实际上可以揭示BLP模型最大的改进：它给出了一个更容易理解的故事，并且允许使用更少的参数来表征不同产品的随机项之间的相关性。具体来说，BLP假设每个消费者对产品的每一个指标都有不同的品味（注意是针对指标k而不是产品。例如，如果他看重汽车的马力，那么他看重的是汽车的马力）所有品牌汽车的马力，所以自然肌肉跑车之间的替代效应会更强），并且口味满足随机分布。每个性能指标k与均值$v_{ik}$、iid有偏差，其方差为$\^2$。事实上，这也大大减少了需要估计的参数数量。我们只需要估计味道向量$\beta$所在的分布的均值，以及$\$（总共$K$），而不再需要估计$\frac{J(J-1) }{2}$ 用参数表征的相关矩阵。因此，式（5）到式（6）的变化可以认为是BLP模型假设的核心。在此假设下，应用 Berry 1994 的算法，对 $s_{jt}$ 的表达式进行数值积分，我们有\begin{} s_{jt} &=\sum\{i=1}^{ns}\ frac{ \bar s}{\bar f(v_i,\theta)} f_j(v_i,\theta) =C_1 \sum_{除 v} \frac{\exp (\{jt}+\mu_{jt}) }{1 +\sum (\{jt}+\mu_{jt})} 。 \end{} 原文中推荐的划分 v 的方法是采样，然后根据密度概率接受或拒绝，使用如下迭代 T (s, θ, P)\left[\\right]=\+ \ln \left(s_j\right)-\ln \left[s_j(p, x, \, P ; \theta)\right] 更新 $\delta$ 的解。证明T是一个压缩图（模小于1），这保证了使用式（11）更新的序列一定收敛。因此，需求函数的计算可以用以下单纯形算法来表征：

猜测$\sigma$得到这个$\sigma$下的估计值$\delta$ 猜测$\$重复更新$\=T^i(\)$直到收敛使用$\delta$做GMM估计$\beta $ \ min (\delta-x\beta)' z

BLP本身知道两层搜索是一个非常复杂的计算行为，所以它给出了一些实用的技巧，比如尽量让初始值更加准确。一种方法是自己悄悄做一个Logit，将估计结果作为$\$。另外，BLP的无偏性还需要非常严格的条件来保证，这将在误差分析部分再次提到。作为BLP的改进，这部分算法被替换为（MPEC算法）。该算法的核心思想是将上述问题转化为约束最小化问题，即\begin{array}{rl} \min _{\delta, \bar{\beta}, \} & g( \delta ; \bar{\beta})^{\prime} W g(\delta ; \bar{\beta}) \\ \text { st } & s_j= \int \frac{\exp \left(\+ \sum_k x_{jk} \nu_{ik} \\右)}{1+\sum_q \exp \left(\+\sum_k x_{qk} \nu_{ik } \\右)} d F_\nu\left (\nu_i\right) \quad \text { 对于所有 } j 。 \end{array} 该算法没有利用$\delta$的唯一性，但直接用\delta$进行搜索可能会导致搜索空间过大。但MPEC通常被认为是比BLP更有意义的实用算法。

结合供应方的估计

供给方的描述是标准的纳什，即制造商调整自己生产的所有产品的价格，以实现利润最大化。得到的矩阵表达式为 $p=mc+\Delta^{-1} (p) s(p)$

其中mc表示边际成本，用可见变量$w$和不可见变量$\omega$来表征：$\log \left(m c_j\right)=w_j \gamma+\$

因此，我们有 \=\log \left(p_j-e_j^{\prime} \Delta(p)^{-1} s(p)\right)-w_j \gamma 如果我们假设 IV 足够好，那么也就是说，它与shock $\$和shock $\omega$正交，那么它们可以联合估计，即在GMM中多增加一维：g(\delta; \bar{\beta}, \gamma )=\frac{1}{J}\ left(\begin{array}{c} \sum_j\left(\-\{x}_j^{\prime} \bar{\beta}\right) h\left (z_j\right) \\ \sum_j\left (\log \left(p_j-e_j^{\prime} \Delta(p)^{-1} s(p)\right)-w_j \gamma\right) h \left(z_j\right) \end{数组}\right)

误差分析

在 Berry 和 Pakes 的另一篇论文中，给出了 $\delta$ 统计量的渐近性质。一致性要求采样次数ns和消费者样本数n都必须足够大。随着产品J数量的增加，越来越多的产品的选择概率趋于0。因此，J的大小实际上决定了n和ns增长率的下界。这部分看似容易被忽视，但也是其缺点的主要来源。 BLP利用BP方法将协方差矩阵分解为三部分

第二部分误差的内涵是，两层搜索的精度必须足够好，才能保证BLP估计器的无偏性。例如，传统对$\delta$估计的要求通常是1e-13或者更准确，对于$\sigma$的估计精度可以稍微放宽。对数据的要求也比较高，要求消费者数量、采样次数和市场数量以足够大的速度增长以适应产品数量。事实上，几乎没有人读过 BLP 自己论文的实证部分（而且很多人说这根本就是错误的）。原因之一应该是市场数量相对于产品数量来说太少了（20年总共观察了2217个，并且有900多个产品）。另外，其每个产品的市场份额对于外部选择来说太小（其$s_0$每年都在0.8以上），这自然导致$\delta$本身很难准确估计，更不用说使用估计的$\ delta$ 来估计 $\beta$。

尼沃，阿维夫。 “A 的 of 的指南 - logit of ”。 & 9.4 (2000): 513-548。

邢莉. '注释3：Logit'

需求函数是关于什么的函数_需求函数啥意思_需求函数是什么