高等数学证明中辅助函数的构造————————————————————————————————— 作者：————————— —— ———————————————————— 日期：高等数学证明中辅助函数的构建 王春山、张少兰 【安徽工商职业学院，安徽合肥】摘要：本文的系统总结本文介绍了高等数学证明中四种常见辅助函数的构造。 每种类型都有介绍并举例说明，对学习高等数学证明有一定的指导作用。 关键词：辅助功能； 原有功能； 推导方法 那么； 高等数学的许多问题的证明中不等式都需要构造辅助函数，但如何构造辅助函数是学生学习高等数学的难点之一。 现在我们将证明高等数学中构造相关辅助函数的常用方法如下。 一、不等式证明中辅助函数的构造 1、关于类型不等式的证明。 一般来说，可以考虑构造一个辅助函数，然后确定比较点[或]，并利用 的单调性来证明。 例1证明，。 证明 假设 . 因此，我们可以对定义进行补充，使其继续下去。 由此可见，只需证明它是单调递增的即可。 因为，是一个确定的符号，我们假设，和。 所以，。 因此，above是单调递增的，因此，在区间 中，从面到above也是单调递增的，所以，也就是说，这证明了above是单调递增的，即命题得证。 对于形式不等式，在某些情况下，也可以通过适当变形为对某个辅助函数的单调性的讨论来证明。

假设，并证明。 分析：由于 ，证明的不等式似乎是关于 的单调函数，但由于有两个变量，如果能将其转化为一个变量会更容易。 根据证明的不等式的构造和情况，将证明的不等式等价于不等式假设，然后将原不等式转化为函数，并讨论单调性的讨论。 证明根据上述分析，构造辅助函数，则，由于，因此<0，所以它单调递减，因此命题成立。 2.关于类型不等式的证明。 常用的简单方法是考虑取最大值和最小值来证明。 例3证明了不等式。 证明， 。 既然是连续的，那么区间内必然有最大值和最小值。 ，让，然后[驻点]。 因为，所以上面，所以。 3. 涉及定积分的不等式。 一般情况下，常选择定积分的上限作为构造辅助函数的自变量。 例4 假设在区间上连续，证明为若且，则上式为增函数，故命题得证。 2.应用推导法。 然后构造辅助函数。 这里我们主要利用求幂函数、对数函数、函数积的导数时出现的特殊情况来构造辅助函数。 例如，假设一切都是可导的，那么，，。 因此，当证明的结果以 、 等形式出现时，可以构造 、 或 形式的函数。 例 5 假设函数在 , and,, 上连续且在 , and,, 内部可微。 证明 中至少存在一个点，使得 。 证明 假设，那么通过已知并因此从条件可知，满足上述罗尔中值定理，即其中至少有一个点使得，即，所以。 3. 下面举例说明证明方程根存在性时辅助函数的构造。

例 6 讨论了具有多个实根的方程 []。 分析：假设 ，则若 的最小值在轴上方，则曲线与轴无交点，方程无实根； 如果最小值在轴上，则曲线与轴只有一个交点，方程只有一个实根； 如果最小值低于轴，则讨论函数的单调区间等性质，以确定曲线与轴的交点个数，从而求出方程的实根个数。 解决方案 假设，那么，让我们得到。 因为那时，； 当时，。 所以当 时获得最小值。 此时，即曲线与轴不存在交点，方程无实根； 此时，即曲线与轴只有一个交点，方程只有一个实根； ，即因为此时 ， 是单调递减的，而此时 ， 是单调递增的。 所以曲线与轴有两个交点，即方程有两个实根。 4.应用原函数构造辅助函数。 将通过示例来解释该方法。 例7 【拉格朗日中值定理】假设函数满足： [1] 在闭区间上连续； [2] 在开区间上可微。 那么至少有一个点使得 。 分析：即 中必须至少有一个点。 此时，注意到 的函数值为 ，而 的原函数为 ，因此证明方程的导函数中至少有一个零点。 根据这个定理和罗尔定理的条件，很自然地认为，可以通过验证函数满足罗尔定理的条件来证明这个定理的结论。 当然，辅助功能也是构造出来的。 证明略去。 例8证明，假设非线性函数在on上连续且在on上可微，则必定存在，使得。 分析：所要证明的不等式显然是模拟函数的导函数在某一点的值大小的问题，因此可以构造一个辅助函数。

然而，为了使构造的辅助函数具有更好的性质，例如，辅助函数除了连续且可微之外，还需要其在区间两端点的函数值相等并且等于0，所以构造辅助函数：。 证明是因为，并且由于非线性，它并不总是0，所以一定存在这样的，我们不妨假设对于上面的情况，分别应用拉格朗日定理有。 。 那么这就是记录。 参考文献：华东师范大学数学系编。 数学分析，高等教育出版社，证明春山张少兰（安徽 安徽合肥） 关键词： 、 、 规则、： 作者简介：王春山，男，1969年。 11. 安徽职业学院张少兰副教授工商学士，女，安徽工商职业学院副教授通讯地址：合肥市砀山路233号安徽工商职业学院邮箱：@163