近五年（2017-2021）高考数学题分类整理
13.坐标系和参数方程
1.多项选择题
1. (2019·北京（科学））已知直线l的参数方程为（t为参数），则点(1,0)到直线l的距离为
A。
B．
C。
D .
2.回答问题
2.（2021·国家（文））在直角坐标系中，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系。 曲线C的极坐标方程为。
(1) 将C的极坐标方程转化为直角坐标方程；
(2) 假设A点的直角坐标为，M为C上的移动点，P点满足。 写出Р轨迹的参数方程，判断C与C之间是否存在公共点。
3. (2021·国家（科学））在笛卡尔坐标系中，圆的圆心为 ，半径为 1。
(1) 写出参数方程；
(2) 通过该点绘制两条切线。 建立以坐标原点为极点，x轴正方向为极轴的极坐标系。 求这两条切线的极坐标方程。
4. (2020·江苏) 在极坐标系中，已知点在直线上，点在圆上（其中， ）。
(1) 求 的值
(2)求直线和圆的公共点的极坐标。
5.（2020·国家（文））在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数，t≠1），C与坐标轴相交于A、B两点。
(1) 查找||：
(2)建立以坐标原点为极点、x轴正方向为极轴的极坐标系，求直线AB的极坐标方程。
6. (2020·国家(科学)) 在笛卡尔坐标系中，曲线的参数方程就是参数。 以坐标原点为极点，以正半轴为极轴建立极坐标系。 曲线的极坐标方程为。
（1）当时的曲线是怎样的？
(2) 此时求 和 的公共点的直角坐标。
7.（2020·国家（科学））已知曲线C1和C2的参数方程为C1：（θ为参数），C2：（t为参数）。
(1) 将C1和C2的参数方程转化为常方程；
(2)建立以坐标原点为极点、x轴正半轴为极轴的极坐标系。 设C1和C2的交点为P，求以极轴为圆心并通过极点和P的圆的极坐标方程。
8.（2019·江苏）极坐标系中，已知两点，直线l的方程为。
(1)求两点A、B之间的距离；
(2)求B点到直线l的距离。
9. (2019·国家科学技术) 如图所示，在极坐标系中， 、 、 、 圆弧 、 所在的圆心分别为 、 ，曲线为圆弧，曲线为弧，并且曲线是弧。
(1) 分别写出 的极坐标方程；
(2) 该曲线由，，如果该点在，并且，求极坐标。
10． (2019·国家(文))极坐标系中，O为极点，曲线上的点，直线l经过该点并垂直于该点，垂足为P。
(1)求此时l的极坐标方程；
(2) 当M在C上移动，P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程。
11.（2019·国家（文））在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为。
(1)求出C和l的直角坐标方程；
(2)求C上的点到l的距离的最小值。
12.（2018·江苏）
在极坐标系中，直线l的方程为 ，曲线C的方程为 。 求曲线 C 截直线 l 的弦长。
13． （2018·全国（文））
在直角坐标系中，曲线方程为。 以坐标原点为极点，以正半轴为极轴建立极坐标系。 曲线的极坐标方程为。
(1)求直角坐标方程；
(2) 如果 和 只有三个公共点，求 的方程。
14.（2018·全国（管理））
在平面直角坐标系中，参数方程为（是参数），过该点并带有倾角的直线相交于两点。
(1)求取值的范围；
(2)求中点轨迹的参数方程。
15.（2018·国家（文））在直角坐标系中，曲线的参数方程为（是参数），直线的参数方程是（是参数）。
(1)求和直角坐标方程；
(2) 若切割曲线所得线段的中点坐标为 ，求 的斜率。
16. (2017· ()) 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为
．
(1) 如果，求C与l交点的坐标；
(2) 若 C 上一点到 l 的距离最大值为 ，求 。
17.（2017·全国（管理））
在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为 。 设l1和l2的交点为P。当k变化时，P的轨迹为曲线C。
(1) 写出C的普通方程；
(2)建立以坐标原点为极点、x轴正方向为极轴的极坐标系。 假设 M 是 l3 和 C 的交集。求 M 的极直径。
18.（2017·国家（科学））在直角坐标系中，以坐标原点为极点，以正半轴为极轴，建立极坐标系。 曲线的极坐标方程为。
(1) 是曲线上的一个移动点，该点在线段上，且满足，求该点轨迹的直角坐标方程；
(2) 假设该点的极坐标为 ，该点在曲线上，求面积的最大值。
19． (2017·国家(科学)) 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，以正半轴为极轴，建立极坐标系。 曲线的极坐标方程为。
(1) 是曲线上的一个移动点，该点在线段上，且满足，求该点轨迹的直角坐标方程；
(2) 假设该点的极坐标为 ，该点在曲线上，求面积的最大值。
20． (2017·江苏)已知直线l的参考方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(s为参数)。设p为曲线C上的移动点，求点 P 到直线 l 的最小距离
3.填空
21。 (2019·天津（哲学））假设直线和圆（作为参数）相切，则 的值为____。
22。 (2018·北京（科学）） 在极坐标系中，若直线与圆相切，则。
23。 (2018·天津（哲学））已知圆心为，直线（即参数）与圆相交于两点，面积为。
24。 (2017·天津(科学)) 在极坐标系中，直线和圆的公共点的个数是。
25． (2017·北京（科学）） 在极坐标系中，点在圆上，该点的坐标为 ，则 的最小值为 。
近五年（2017-2021）高考数学题分类整理
13.坐标系和参数方程（答案分析）
1.D
【分析】
首先将参数方程转化为直角坐标方程，然后利用点到线距离公式求解距离。
【分析】
直线的普通方程为，即一点到直线的距离，故选D。
【概括】
本题考查线性参数方程和普通方程的变换，以及点到直线的距离。 这是一个简单的问题，侧重于基础知识和基本计算技能。
2.(1)； (2) P 的轨迹参数方程为 ( 是一个参数)，C 和 之间没有公共点。
【分析】
(1) 将曲线C的极坐标方程代入，得到；
（2）假设，假设根据向量关系，可以得到P的轨迹参数方程，通过与半径之差比较，可以得到两圆圆心之间的距离。
【分析】
(1) 由曲线C的极坐标方程可得：
通过代入，我们可以得到，即
即曲线C的直角坐标方程为；
(2) 假设，假设
,
,
那么，也就是说，
因此，P的轨迹参数方程为（是参数）
曲线C的圆心为，半径为，曲线的圆心为，半径为2，
那么圆心之间的距离是，两个圆包含在，
因此，曲线C与 没有共同点。
【概括】
本题考察参数方程的解。 解决问题的关键是设定参数坐标并利用向量关系来解决问题。
3. (1), (是参数); (2) 或。
【分析】
(1)利用圆心和半径可以直接得到圆的参数方程；
(2) 首先求出经过(4, 1)的圆的切线方程，然后利用极坐标和直角坐标的相互变换公式进行化简。
【分析】
(1) 从问题的含义来看，普通方程为：
所以参数方程是，（是一个参数）
（2）根据题意，切线的斜率必然存在。 设切线方程为，即
可以得出圆心到直线的距离等于1，
已解，所以正切方程为 或，
代入并简化可得
或者
【概括】
本题主要考直角坐标方程和极坐标方程的变换，涉及直线和圆的位置关系。 这是一道考验学生数学运算能力的基础题。
4.(1)(2)
【分析】
(1)将A点和B点的坐标代入即可得到结果； (2) 结合直线和圆极坐标方程并求解结果。
【分析】
(1) 以极点为原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，
,
由于该点在一条直线上，故其直角坐标方程为：
对应的圆的直角坐标方程为：
从解中，我们得到或者，
对应的点为 ，所以对应的极径为 或 。
(2),
,
然后;
到时候，就放弃； 也就是说，所求交点的坐标为
【概括】
本题考查极坐标方程及其交点，考查基本分析和求解能力，是一道基础题。
5.(1)(2)
【分析】
(1)由参数方程得到的坐标，最后由两点之间的距离公式得到的值；
(2) 由 的坐标求出直线的直角坐标方程，然后将其转换为极坐标方程。
【分析】
(1)令，则，解为或（放弃），则，即。
设，则，解为或（放弃），则，即。
;
(2) 由(1)可知，
那么直线方程为，即。
由此可得直线的极坐标方程为 。
【概括】
本题主要考察利用参数方程求点的坐标以及直角坐标方程到极坐标方程的转换。 这是一个中等范围的问题。
6、（1）曲线表示以坐标原点为圆心、半径为1的圆； （2）。
【分析】
(1)利用消去参数求出曲线的常方程，即可得出结论；
(2) 此时 ，曲线的参数方程转化为参数)，将两个方程相加并消去参数，得到常方程。 由此，将曲线转化为直角坐标方程，即可求解联立方程组。
【分析】
(1) 此时曲线的参数方程为)，
将两个方程的平方相加，我们得到，
因此，曲线表示以坐标原点为圆心、半径为1的圆；
(2) 此时曲线的参数方程为),
因此，曲线的参数方程就变成了参数），
将两个方程相加得到的曲线方程为：
得到，平方得到，
曲线的极坐标方程为，
曲线的直角坐标方程为
联立方程，
安排、解决或（丢弃），
，公共点的直角坐标为。
【概括】
本题考查参数方程与普通方程的相互转化，以及极坐标方程与直角坐标方程的相互转化。 合理排除是解决问题的关键。 注意曲线坐标的范围，考验计算求解能力。 这是一个中等范围的问题。
7.(1)；；(2)。
【分析】
(1) 分别消去参数和求和，得到所需的常方程；
(2) 将两个方程联起来得到点。 得到所需圆的直角坐标方程后，通过直角坐标和极坐标的相互变换，即可得到所需的极坐标方程。
【分析】
(1) 得到的常方程为：；
由： ，两个方程差分得到的常方程为： 。
(2) 来自：，即；
假设圆心的直角坐标为，其中，
那么，解为：，所求圆的半径，
求圆的直角坐标方程为：，即
求圆的极坐标方程为。
【概括】
本题考查极坐标和参数方程的综合应用，涉及参数方程转化为常方程、直角坐标方程转化为极坐标方程等知识，是常见的考试题型。
8.(1)；
(2)2.
【分析】
(1)根据题意，在 中，只需用余弦定理求长度即可；
(2)首先确定直线的倾斜角度和直线经过点的极坐标，然后将B点的坐标与几何性质相结合，得到B点到直线的距离。
【分析】
(1) 设极点为O。在△OAB中，A(3,)，B(,)，
由余弦定理，我们得到AB=。
(2) 因直线 l 的方程为
则直线l过该点，倾斜角为。
又，B点到直线l的距离为。
【概括】
本题主要考查曲线极坐标方程等基础知识，考查计算解题能力。
9. (1) ,,,
（2）、、、。
【分析】
(1) 列出经过原点的三个圆方程。 请注意，该问题需要弧，因此请注意方程中的值范围。
(2) 根据求解条件将方程一一代入，最终求解出该点的极坐标。
【分析】
（1）根据题意，这三个圆的直径都是2，并且都经过原点。
,
,.
(2) 求解方程，可得此时P的极坐标为
求解方程得出或。 此时P的极坐标为或
求解方程，可得此时P的极坐标为
因此，P的极坐标为，，，。
【概括】
本题考查极坐标中圆经过极点的方程。 思维量不高，计算量也不大。 这是一个中等范围的问题。
10． (1)、l的极坐标方程为； (2)
【分析】
(1)首先从问题的含义入手，代入方程； 根据题意求出直线的直角坐标方程，然后转化为极坐标方程；
（2）首先从题意得到P点轨迹的直角坐标方程，然后将其转化为极坐标方程。 注意变量的取值范围。
【分析】
(1) 由于该点在曲线上，
所以;
也就是说，因此，
由于直线 l 经过该点并且垂直于
所以直线的直角坐标方程为：
因此，其极坐标方程为，即l的极坐标方程为；
(2) 假设 ,
根据问题的意思，，所以，所以，我们可以梳理一下，
因为 P 在线段 OM 上，M 在线段 C 上移动，所以，
因此，P点轨迹的极坐标方程为，即。
【概括】
本题主要考查极坐标方程和直角坐标方程的变换。 只要记住公式就可以了。 这是一种常见的测试题类型。
11.(1);;(2)
【分析】
(1)利用代入消元法可以得到直角坐标方程； 根据极坐标和直角坐标相互变换的原理，可以得到直角坐标方程； (2)用参数方程表示上点的坐标，根据该点到直线的距离公式可以用三角函数的形式表示所需的距离，这样就可以根据上点到直线的距离找到最优值三角函数的范围。
【分析】
(1) 尤德：、
得到的直角坐标方程为：
再次，
的直角坐标方程为：
(2) 设上点坐标为：
那么从该点到直线的距离
此时取最小值
但
【概括】
本题考察参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的变换，以及求解椭圆上一点到直线距离最优值的问题。 为了求解该问题中的最优问题，通常用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为求解三角函数极小值问题。
12.曲线C截直线l的弦长为
【分析】
分析：首先，根据直线和圆的极坐标方程，直线和圆的一个交点为A(4, 0)，OA为直径。 设直线与圆的另一个交点为B，根据直线的倾斜角度，∠OAB=。 最后根据直角三角形OBA求弦长。
分析：由于曲线C的极坐标方程为，
因此，曲线C的中心为(2,0)，圆的直径为4。
因为直线l的极坐标方程为，
则直线l过A(4, 0)，其倾角为，
所以A是直线l和圆C的交点。
假设另一个交点为B，则∠OAB=。
连接OB，因为OA是直径，所以∠OBA=，
所以。
因此，曲线C所截直线l的弦长为。
总结：本题考查曲线极坐标方程等基础知识，考查计算解题能力。
13． (1) .
(2) .
【分析】
分析：（1）根据、、、代入方程中的相关量，得到直角坐标方程；
(2) 结合方程的形式，可以得出曲线是一个以 为圆心，以 为半径，有两条过一点且关于轴对称的射线的圆。 通过分析图形的特征，我们可以得到三个公共点在什么情况下会出现。 结合得到k满足的关系式，得到直线和圆的位置关系，从而得到结果。
分析： (1) 得到直角坐标方程
．
(2) 由式(1)可知，它是一个以 为圆心，以 为半径的圆。
从问题中我们知道它们是穿过该点且关于轴对称的两条射线。 设轴右侧的射线为 ，轴左侧的射线为 。 由于在圆外，AND 和只有 3 个公共点，相当于只有 1 个公共点而 AND 有 2 个公共点，或者只有 1 个公共点而 AND 有 2 个公共点。
当 和 只有一个公共点时，到直线的距离为，so，or。
经检查，当时并无共同点； 此时， 和 仅有一个共同点， 和 且有两个共同点。
当 和 只有一个公共点时，到直线的距离为，so，or。
经检查，当时并无共同点； 那时，和并没有共同点。
综上所述，所求方程为。
摘要：本题研究与坐标系和参数方程相关的问题。 涉及的知识点包括曲线的极坐标方程转化为平面的直角坐标方程以及曲线交点个数的相关问题。 在解决问题的过程中，需要明确极坐标与平面直角坐标之间的转换关系，以及曲线与图形的交点个数，并将其转换为对应的需要满足的条件。直线与圆的位置关系，从而得到结果。
14.（1）
(2) 是一个参数，
【分析】
分析：（1）由圆与直线的交点，可求出圆心到直线的距离。
(2) 联立方程组，通过根与系数的关系求解
分析：(1)式的直角坐标方程为。
那时，我在两点遇见了你。
那时，记住，那么方程是。 如果 和 相交于两点，则解为或，即或。
综上所述， 的取值范围为 。
(2) 的参数方程为参数 。
假设 ，对应的参数为 、 、 ，则 、 、 、 满足。
那么，该点的坐标满足
因此，该点轨迹的参数方程为参数 。
总结：本题主要考的是直线与圆的位置关系、圆的参数方程、点的轨迹方程。 这是一个中等范围的问题。
15. (1)、此时 , 的直角坐标方程为 , 此时 , 的直角坐标方程为； (2)
【分析】
分析：（1）根据同角三角函数之间的关系，将曲线的参数方程转化为直角坐标方程，根据代入消去法，将直线的参数方程转化为直角坐标方程坐标方程。 这时要注意两种情况。 (2)将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，根据参数的几何意义得到关系式，即得到斜率。
【分析】
分析： (1) 曲线的直角坐标方程为。
此时 , 的直角坐标方程为
当时的直角坐标方程是。
(2) 将 的参数方程代入 的直角坐标方程，整理出方程
． ①
由于直线穿过曲线所得到的线段的中点在内侧，因此①有两种解。 让 , , 那么。
因此，也可以从①得到直线的斜率。
16.(1),; (2) 或。
【分析】
试题分析：（1）将直线和椭圆的参数方程转化为直角坐标方程，同时求解交点坐标； (2)利用椭圆参数方程，设定一个点，根据该点到直线距离公式计算参数。
试题分析： (1)曲线的常方程为。
当时的普通直线方程是。
从解我们得到 或 。
因此， 与 的交点坐标为，。
(2) 直线的常方程为 ，故距 上点的距离为
此时，最大值为。 它是由问题设置的，所以；
此时 的最大值为 。 它是由问题设置的，所以。
综上所述，或者。
摘要：本题为选修题。 首先将直线和椭圆的参数方程转化为直角坐标方程和联立方程，得到交点坐标。 使用椭圆的参数方程求出椭圆上一点到直线的距离的最大值。 直接用一点到直线的距离公式来表达椭圆上一点到直线的距离，利用三角形的有界性来确定最优值，然后得到参数的值。
17.（1）（2）
【分析】
(1) 消去参数得到的常方程； 消去参数m得到l2的常方程。
假设从问题中消去k可得。
所以C的普通方程为。
(2) C的极坐标方程为。
连立德。
所以，
从而。
代替它，
所以交点M的极直径为。
【名师总结】本题考察极坐标方程的方法和应用，重点考察变换和约简能力。 当遇到求曲线交点、距离、线段长度等几何问题时，一般的求解方法是将其转化为常方程并解出直角坐标方程后再求解，或者直接利用极坐标的几何意义来解决它。 根据问题本身的特点来决定选择哪个方程。
18.（1）； (2)
【分析】
试题分析：（1）设定P的极坐标，然后根据题意推导出极坐标方程，最后转化为直角坐标方程：
(2)利用(1)中的结论，设定该点的极坐标，然后与面积公式结合起来，得到面积的三角函数。 结合三角函数的性质，可以得到面积的最大值。
试题分析： 解：（1）设P的极坐标为（）（>0），M的极坐标为（）。 从提问可知
|OP|=，=。
由|OP|=16得到的极坐标方程
因此直角坐标方程为。
(2) 设B点的极坐标为()。 从题中假设|OA|=2，那么△OAB的面积
此时，S达到最大值。
因此，△OAB面积的最大值为。
摘要：本题考察极坐标方程的方法和应用，重点考察变换和约简能力。 在求曲线交点、距离、线段长度等几何问题时，一般的求解方法是将其转化为常方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解。 根据问题本身的特点来决定选择哪个方程。
19． (1); (2)
【分析】
试题分析：（1）设定P的极坐标，然后根据题意推导出极坐标方程，最后转化为直角坐标方程：
(2)利用(1)中的结论，设定该点的极坐标，然后与面积公式结合起来，得到面积的三角函数。 结合三角函数的性质，可以得到面积的最大值。
试题分析： 解：（1）设P的极坐标为（）（>0），M的极坐标为（）。 从提问可知
|OP|=，=。
由|OP|=16得到的极坐标方程
因此直角坐标方程为。
(2) 设B点的极坐标为()。 从题中假设|OA|=2，那么△OAB的面积
此时，S达到最大值。
因此，△OAB面积的最大值为。
摘要：本题考查极坐标方程的方法和应用，重点考察变换和约简能力。 在求曲线交点、距离、线段长度等几何问题时，一般的求解方法是将其转化为常方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解。 根据问题本身的特点来决定选择哪个方程。
20． 。
【分析】
直线的普通方程是。
由于该点位于曲线上，假设：
所以从该点到直线的距离，
然后，。
因此，当某点的坐标为 时，曲线上的该点到直线的距离取最小值。
21。
【分析】
根据圆的参数方程来确定圆的半径和中心坐标，然后根据直线和圆之间的截面条件获得令人满意的方程式，然后解决。
【分析】
循环到普通方程式中，
圆的中心的坐标是，圆的半径是，
从直线和圆之间的切线中，我们拥有，解决方案为。
【概括】
可以使用判别方法确定直线和圆之间的位置关系，但是通常，判断是根据从圆中心到直线到圆的半径的距离进行的。
22。
【分析】
直线和圆的极坐标方程将转换为矩形坐标方程，然后从圆的中心到直线的距离等于半径。
【分析】
因为，
从，得到，
从，我们得到，也就是说
由于直线与圆相切，因此
【概括】
（1）将矩形坐标方程转换为极坐标方程，只需使用公式并直接替换并简化；
（2）极地坐标方程通常通过变形，构造以下形式和整体替代来转换为矩形坐标方程。 其中，方程式的两侧乘以（或分隔）方程式的两侧是通常使用的变形方法。 但是，在变形方程式时，方程必须具有相同的解决方案，因此应注意检查变形过程。
23。
【分析】
从问题的含义中，首先找到从圆的中心到直线的距离，然后将其与和弦长度公式结合在一起以找到和弦长度，最后找到三角形的面积。
【分析】
从问题的含义中，我们可以获得一个圆的标准方程：
直线的矩形坐标方程是：
然后从圆的中心到直线的距离：
从和弦长度公式我们可以得到：
但。
【概括】
在处理直线和圆之间的位置关系时，如果两个方程是已知的，或者从圆的中心到直线的距离很容易表达，则使用几何方法； 如果方程包含参数，或者从圆中心到直线的距离的表达是复杂的，则使用代数方法。
24.2
【分析】
直线是，圆是，因为，有两个相交点
【测试点】极坐标
[著名教师的摘要]然后，使用公式将极坐标方程转换为矩形坐标方程，然后求解同时方程，以确定基于口气的相交点的数量。 极性坐标和参数方程是需要灵活使用公式进行坐标转换和方程转换的选修课程。
25.1
【分析】
分析测试问题：将圆的极性坐标方程转换为普通方程，并将其组织为圆的中心，该点是圆外的一个点，因此最小值为。
[测试点]极坐标和矩形坐标方程，点和圆之间的位置关系的互连
[著名教师的摘要]（1）巧妙地使用了相互转换公式：将极坐标转换为矩形坐标； （2）矩形坐标方程和极坐标方程的相互转换的关键是掌握相互转换公式并研究极坐标系属性中的图，它可以转换为矩形坐标系统的背景。
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