1.周期序列的离散傅立叶级数（DFS）

对上一段的进一步解释是：

①DFS全称

②连续时间信号下的Ω=2πT\Omega =\frac{2\pi }{T}Ω=T2π为基波角频率。 由于T的单位是秒（s），所以它的单位是rad/s。 离散序列下的Ω=2πN\Omega =\frac{2\pi }{N}Ω=N2π 就是数字角频率。 由于N没有单位，所以它的单位是rad，即2π2\pi2π被分成N份。 需要特别注意这一点，即要注意区分角频率和数字角频率的区别。

③ 注意小写字母n的含义和小写字母k的含义。 小写的n是基本角频率或基本数字角频率的乘积，而k是由连续时间信号的t变换而来。

从上图我们知道为什么n的值可以限制为n=0,1,2...,N-1

请注意表达式 FN(n)F_{N}(n)FN​(n) 在上图中的样子。 您必须了解 N、n、k 和 Ω 的含义。

需要注意的是，傅里叶系数和傅里叶级数是不同的。 在工程的频域分析中，我们经常使用的实际上是傅里叶系数。

W所代表的表达式一定要清楚。 我们在工程中经常会遇到这样的表达方式。

2. 离散傅里叶变换（DFT）

以上内容与周期序列的离散傅立叶级数有关。 接下来，我们进入本文的正题，即什么是序列的离散傅里叶变换（DFT）。

看了上面两张照片，我们就知道DFT的来源了。 事实证明，DFT将我们的有限长度离散序列扩展为周期离散序列，然后计算这个扩展的周期离散序列的离散傅立叶系数变换。 我们平时做DFT的时候，需要知道DFT得到的傅立叶系数是哪一个系数序列。

3.使用函数FFT()求序列的DFT

上图说明了FFT的起源。 函数 FFT() 用于计算序列的 DFT。

下面是使用函数 FFT() 的示例，其中我们使用函数 FFT() 来计算服从正态分布的序列的频谱。

代码如下所示：

N = 2000;
norm_sequence_01 = normrnd(0,1,1,N);
DFT_01 = fft(norm_sequence_01);
DFT_01_abs = abs(DFT_01);
digital_frequency = linspace(0,(2*pi/N)*(N-1),N);
plot(digital_frequency,DFT_01_abs);

运行结果如下图所示：

从这次运行的结果我们可以看出以下三点：

① 序列的DFT关于π对称；

②服从正态分布的序列的频谱在整个数字频谱上几乎是均匀的，这使得我们不可能用滤波器将其完全滤除。

③序列的DFT是一个复数。