【拼音】：LiMan

[外语]：

B. 黎曼提出的曲面，用于想象多值解析函数的单值域。 用现代语言来说，黎曼曲面是一个连通的一维复流形。 黎曼曲面的研究不仅是单复变函数论的基本问题之一，而且与多复变函数论、复流形、代数几何、代数数论等现代数学的许多分支密切相关。 、自守函数等。

单值解析函数的反函数可以是多值的。 例如，幂函数和指数函数的反函数是根函数和对数函数，它们都是多值的。 另外，从解析函数单元出发，沿着闭合曲线进行解析展开，最终可能会得到不同的单元。 因此，完全解析函数往往是多值的。 在研究多值函数时，人们首先将其分解为单值分析分支，然后根据这些分支之间的关系将它们连接起来。

用于研究

，沿正实轴截取展开的复平面，记为╦1。 其边界为两个正实轴Лa和Лhuan，分别设置在第一象限的下边缘和第四象限的上边缘。 ╦ 1 份

刚刚明白

高级的单值分析分支，

但分别取不同的值

。 令 ╦ 2 为沿正实轴切割的另一个扩展复平面，其边界用 Л崹 和 Л崃 表示。

刚刚明白

单值解析的另一个分支。

不同的是，在Л干和Л崃上对应正实数x的两点处，

数值分别为

。因为

Лagent和Лhuan上的值分别相同

Л崃和Л崹上的值是相同的。 人们很自然地把Л剂和Л崃、Л环和Л崹粘在一起，把╦1和╦2拼接成一个整体。 这是

黎曼曲面。

作为在此表面上定义的函数，它包含两个分支并且同时是单值的。 为多值函数构造一个合适的定义处，使其成为一个完整的单值解析函数，这是黎曼最初的想法。这样构造

,

lnz和lnz的黎曼曲面如图1所示

显示。

捆

将黎曼曲面放置在扩展复平面的原始位置上，成为扩展复平面的n叶覆盖曲面。 曲面上的点O和∞称为n-1级分支点。 类似地，lnz 的黎曼曲面是复平面的无分支覆盖曲面（去除原点后）。 一般来说，任何覆盖复平面（或扩展复平面）的曲面都可以视为黎曼曲面。 假设覆盖曲面中的点 P 位于复平面中点 z 的上方，则 z 称为 P 的投影。定义在曲面上的函数在非分支点是否解析取决于它是否解析为投影 z 的函数； 而在投影为z0的n-1层分支点，则取决于是否解析为

无论是解析。 这就是黎曼最初的黎曼曲面概念。 经典的黎曼曲面理论就是基于这个概念而发展起来的。

对于完全解析函数或完全解析构型，如果把以z0为中心的函数元看成z0上的一个点，那么它自然会成为延展平面的一个覆盖面，也就是它的黎曼曲面。 代数函数 w=w(z) 的黎曼曲面是展开平面的 n 叶覆盖曲面（n 是相应方程中 w 的最高次数）。 例如，

黎曼曲面的结构如图2所示

显示。 将上下平面中连接0和1以及连接2和3的两条线段切割成裂缝。 每个裂纹产生两条边，分别连接到平面的上部和下部，用实线和虚线表示。 。 然后将上平面中实线（虚线）所示的一侧粘到下平面中虚线（实线）所示的一侧上。

(ch) h. 韦尔首先给出了黎曼曲面的现代定义。 同时，他还对现代数学的基本概念“流形”给出了严格的定义。 根据Weyl的观点，黎曼曲面是一维复流形。 在表面（与欧几里得平面局部同胚的连通豪斯多夫空间）上，定义了一系列局部参数（表面开集上的连续单叶复值函数，也称为局部坐标）。 ，如果在任意两个相邻局部参数的定义域的公共部分上，其中一个参数解析为另一个参数的函数，并且这些参数的定义域覆盖整个表面，则该表面连同该族局部参数（称为共形结构）形成黎曼曲面。 根据其自然参数，复平面C或C上的任意区域都是黎曼曲面。在扩展复平面╦上，除了C上有自然参数外，令

，再取一个参数，使╦成为黎曼曲面。 如果从黎曼曲面到黎曼曲面的连续映射由两个曲面上的局部参数表示并且是解析函数，则称该连续映射是解析的。 黎曼曲面到╦的解析映射是曲面上的半纯函数（亚纯函数）。 黎曼曲面上的调和（或分调和）函数定义为关于局部参数的调和（或分调和）函数。 黎曼曲面的引入极大地拓展了复变函数理论的研究范围。

由紧曲面构成的黎曼曲面称为闭黎曼曲面，否则称为开黎曼曲面。 如果封闭曲面（或开放曲面）上的一维同调群（或调制理想边界的一维同调群）的秩为 2g，则 g（非负整数或无穷大）被称为该黎曼曲面的亏格。 开放表面的亏格可能是无限的。 如果存在从一个表面到另一个表面的一对一解析映射（共形映射），则称两个黎曼表面共形等效。 相同属 g (g>1) 的闭黎曼曲面的所有共形等价类形成所谓的模量空间。 黎曼首先发现模空间中的元素是由3g-3复参数决定的。 丰富多彩的泰希米勒空间理论源于对模空间的研究。

人们还对凯·黎曼曲面进行了分类。 不具有非常数负调和函数的开曲面称为抛物面，其他开曲面称为双曲曲面。 抛物面的类别由 OG 表示。 不存在非常数有界解析函数或调和函数。 狄利克雷积分是有限解析函数或调和函数，或者正调和函数的开表面分别构成类OAB或OHB、OAD或OHD或OHP。 这些表面类之间存在如下包含关系：

根据黎曼最初的概念，黎曼曲面就是╦的覆盖面。所谓面愞就是面F的覆盖面，也就是说存在一个从面愞到面F的映射f。对于每一个扉ε愞，扉与f(扉)εF存在开邻域

和 V，因此极限为

且 V, f 在拓扑上等价于单位圆到其自身 z→ 的映射

=zn（n为正整数，与分支点有关；当n>1时，该分支点称为分支点）。 定义中的映射f称为投影。当F是黎曼曲面时，上式可得

是 F 的局部参数。设 z 是 Xin 的局部参数，它定义了 Xin 上的共形结构，使其成为黎曼曲面，f 是解析映射。 完全解析函数w=g(z)的黎曼曲面为╦的覆盖曲面，并根据上述方法给出共形结构。 该曲面上有两个半纯函数：将 w=g(z) 视为曲面上的单值函数，记为 w=G(P)； 曲面到╦的投影，记为z= Z(P)，P是曲面上的点。 这里的完全解析函数可以包含极性元素和分支元素，以及分支极性元素。

曲面上具有相同起点和相同终点的两条曲线（连续曲线）如果存在，则称为同伦 连续映射 (t, u) → φ (t, u) (0 ≤ t ≤ 1, 0 ≤ u ≤ 1) 进入该曲面，使得 φ (t, 0) 呏 φ1 (t), φ (t, 1) 呏φ2(t), φ(0,u) 呏φ1(0), φ(1,u )呏φ1(1)。 曲面上有固定端点的闭曲线组成的所有同伦等价类，以曲线的连接作为乘法运算形成一个群，称为曲面相对于该固定点的基本群。 不同点的基本群是彼此同构的。 基本群只包含一个元素的曲面称为单连通曲面。

没有分支点的覆盖面称为光滑覆盖面。 令 f 为 F 的光滑覆盖面。如果 у=f(

），其中之一

和 у 分别为 Xin 和 F 上的曲线，则称为

这是у的改进。 如果对于任意у剅F和任意以у为投影起点的剉ε愞，以光为起点的у的提升总是存在，则称愞为F的正则覆盖面。光滑性保证了唯一性唯一值定理指出：如果愞是F的正则覆盖曲面，则对于F上的任意两条互同伦曲线v1和v2以及愞中从v1的共同起点投影的任意点慉而v2、v1、у2从光开始的改进

和

2 总有一个公共终点，并且，

1 和

2 也是同伦的（在殷上）。 复变量函数论中解析函数元沿曲线解析展开的唯一值定理就是该定理的具体应用。

简单连接的规则覆盖面称为通用覆盖面。 对于任何曲面F，其通用覆盖面始终存在，并且在共形等价意义上是唯一的。 当F是黎曼曲面时，也可以成为黎曼曲面，投影f是解析映射。 著名的单值定理指出，简单连接的黎曼曲面必须共形等效于╦（闭）、C（抛物线）或单位圆（双曲）。 若愞=╦，则F=╦。 如果 F = C，则 F = C、C \{0} 或环面（环面是亏格为 1 的闭合曲面；相反，环面的通用覆盖（黎曼）曲面必须是 C）。 当愞为单位圆时，一切都满足f。 φ=f 的共形映射 φ（称为覆盖变换）形成一个 群。 因此，除上述例外情况外，每个黎曼曲面都可以表示为单位圆相对于福克斯群的商； 因此，由分数线性变换组成的不连续群（即克莱因群，包括福克斯群的群的理论）与黎曼曲面理论密切相关。 如果这里的 F 是完全解析函数 w=g(z) 的黎曼曲面，则 G(f(t)) 和 Z(f(t)) （t∈╦，C，或单位圆）都是半纯的函数，多值函数w=g(z)通过参数t是单值的（称为单值参数）。 这解决了著名的希尔伯特第22问题，即奇异化问题。

在黎曼曲面上，如果为每个局部参数 z 定义一个微分 f(z)dz（f(z) 是半纯函数），并且 f( 对应两个相邻参数 z 和 z)dz 和 φ(z) )dz满足关系式f(z(z))·z┡(z)=φ(z)，则称曲面上定义了半纯微分。 半纯函数（或半纯微分）在某一点的零点或极点的次数等于该函数的函数（或该参数下表示中微分的系数）作为该局部参数的函数确定局部参数后。 该点的零点和极点。黎曼-罗定理指出： 在一个亏格为 g 的闭曲面上，点 p1, p2,..., ps； q1，q2，...，qt 和正整数 k1，k2，...，ks； n1, n2 被指定,…,nt, 让

。 令 pi 为至少 ki 级（或至少零级 ki，i=1, 2,...,s）的极点，并令 qi 为至少 ni​​ 级的零点（或至多零级 ki，i=1, 2,...,s） ni层，i=1, 2,...,t ) 由所有半纯函数（或半纯微分）组成的复数域上线性空间的维数为A（或B），则A=B +m- g+1。 该定理是封闭黎曼曲面理论的基本结果； 在一定条件下，它还被推广到开放曲面和高维复流形。

参考书目

H.Weyl.Die ldee der Fi�馽he,Teubn-er,,1913.G.,to,-,,Mass.,1957.LV 和 L.Sario,,Univ.Press,,1960。