三角函数学习技巧。 三角函数是函数的一种。 学生在学校学习时总是感到困难。 下面就来看看三角函数的相关学习技巧，让你学起来更轻松！

学习三角函数的线索、要点和技巧

1.函数学习的几个步骤

1.要学习某个函数，首先要学习定义，而定义通常是通过函数表达式来定义的，定义中的参数一般都有一定的限制。 例如：线性函数y=ax+b，a不为0。

2. 领域优先级应该是所有教师都了解的，但在应用时可能会忘记。 事实上，在方程和不等式的研究中也应该采用“领域优先”的原则。 如果没有定义域，函数的定义就不完整。 函数的取值范围是由解析表达式和定义域唯一确定的，所以一般不写。 但它是研究的重点，研究方法也很多，不同的职能有不同的研究方法。

3.图像也是表示功能的一种方式。 它们很直观，使用它们来研究性质或直接解决问题非常方便。 性质只是对函数的深入思考，在研究上不能局限于此。

4、扩展包括定义和性质，比如研究参数对函数的影响，研究取值范围内的最大值和最小值，研究奇偶校验的其他对称性等； 函数应用题的思考步骤应该是： ? 是自变量， ? 它是一个函数吗？ 有什么关系？ 那么定义域呢？...

5、谈谈函数定义中的参数对单调性的影响

朋友们，你们注意到了吗：

函数定义中的参数直接影响函数的单调性...

(1)线性函数：当a>0时，单调递增； A

(2)二次函数：当a>0时，先减小再增大； A

(3)三次函数：当a>0时，不断增加或增加或减少； A

(4)指数函数和对数函数：01时增加；...

2.三角函数学习前奏

促销角

角、锐角、直角、钝角都是图形角；

有起始旋转角度和结束旋转角度，也有反向角度和正向角度。 放置直角坐标后，最终边确定解析角度；

锐角和钝角是单区域角度，象限角度是多区域角度，直角只是一个角度，象限间角度是多个角度；

角度，角度，角度，用度作为单位太蹩脚了，换成弧度才真正能吹响函数的号角。

1.用平面上一点发出的两条射线形成的图形来定义角度是中学生学习的第一个角度概念。 在此定义下的角称为图形角；

2、某条射线在平面内绕起点旋转所成的角度定义为旋转角。 起始射线是角度的起始边，结束位置射线是最终边。 旋转角度范围可达一圈；

3、上述逆时针旋转形成的角度定义为正角，顺时针旋转形成的角度定义为负角，旋转的度数定义为角度的大小。 此时的角度为任意角度；

4、为了研究三角函数，我们让任意角的初边与x的非负半轴重合。 我们（也许只有我自己）将这样确定的角度称为解析角度。 此时，一条终端边可以确定无限多个任意角度；

5、用圆弧的长度与相应圆的半径之比来测量角度，就是我们引入的弧度制，所以弧度就是用圆弧来测量；

6、省略角度的弧度单位后，角度的大小与实数具有一一对应的关系，这为三角函数的研究提供了必要的前提；

7. 角落重建

当角度在飞机上感觉有点压抑的时候，就开始了新的旅程：

(1)直线与不同平面所成的角；

(2)斜线与平面所成的角；

(3) 二面角；

3. 代表性的转变

一般来说，我们习惯用y=f(x)来表达函数，其中x代表自变量，y代表函数，f代表对应关系。 那么我们在学习三角函数的过程中是否注意到：

1、初中学过三角函数，但没说什么是自变量，什么是函数。 只有在直角三角形中，锐角 a 的正弦、余弦和正切才被定义。

2、高中将角度推广到任意角度后，给出三角函数的定义时，所用的角度仍然是a，但定义是用解析角度的端点上任意一点的坐标来定义的点到原点的距离（具体也可以用端边与单位圆交点的坐标来定义）。 你知道这是为什么吗？

3、在研究三角函数的图像和性质时，正弦函数的解析公式写成y=sinx，余弦写成y=cosx……

在教学中，千万不要忽视这一点。 教材的处理方式是有原因的。

4. 几种定义的比较

1. 初中时，我们学过定义直角三角形锐角的三角函数。 定义过程没有理由。 利用定义，我们可以记住基于两个特殊三角形的三个特殊角的三角函数值；

2、在直角坐标系中，用角度的端边与单位圆的交点的纵坐标来定义正弦，用横坐标来定义角度的余弦，...很容易用这个公式证明同样的角度关系，很容易看出不同象限的角度。 各三角函数值的符号也很容易得到相关的归纳公式；

3、单位圆内的三角函数线也是三角函数的定义，只不过是用有向线段的条数来定义的。 利用这个定义，可以很容易地画出三角函数的图像，解决一些比较问题或求三角函数。 价值;

4. 使用角度末端任意点的坐标以及该点到坐标原点的距离来定义它。 这个定义是上述定义的一般形式，可以用来解决一般问题；

5、在定义三角函数的整个过程中，我们感觉自己学到的知识在不断发展。 知识的内部联系非常密切，我们应该认识到身份有其自身的特点。

5.同角关系的应用

新教材中，重点学习两种全等的角度关系，一种是平方关系，一种是商关系。 这两个公式都有各自的应用。 使用时应注意以下几点：

1.平方关系可以完成正弦和余弦的相互计算。 注意求平方根时要有两个平方根。 因此，当角度不受一定限制时，应仔细考虑结果的符号，当不受限制时，应进行讨论。

2、商关系最大的应用就是“切弦交互”。 注重“余角协函数”公式的相应研究和组合应用。

6.归纳公式的理解

1、归纳公式在教材中占据了很大的篇幅，从归纳公式（1）到归纳公式（6）。 最终的结果是：差生死记硬背，学过的东西都忘记了；差生死记硬背，忘得一干二净。 中级学生似懂非懂。 ，可以做一些简单的题； 优秀的学生学完后，都觉得太简单了，也不知道为什么要讨论这么久？ 你的学生也有这样的情况吗？

2、有句口头禅：“奇变偶，符号不变。看象限有符号。” 大多数学生都知道这一点，但他们不知道为什么。 因此，很多同学不知道如何使用。 究其原因，还是不了解造成的。

3. 这些公式的形式从一个三角函数转换为另一个三角函数，它们可以具有相同的名称或不同的名称。 那么，我们为什么需要转换呢？ 评价？ 找角度？ 或者？

4、复杂之中，有一条不变的线索。 它是什么？ - “角度变化”。 事实上，它是具有相同端边或关于x轴、y轴或坐标原点对称的角度之间建立的等价关系。 这些公式可以将角度从一个象限转换到其他象限，或者与其他象限中的某些相关角度建立关系。 我们选定了这个联系的起源，剩下的全都源于上式的“诱惑”和“引导”。 做题的时候，你就能有以上的体会。

5、例如：已知sinA=-1/2，A在第四象限，请表达角度A。熟练的老师或学生可能一眼就能看出有一个特殊的角度-30度，只需添加 360 度的整数倍即可。 但对于没有技能的学生呢？ 这可以通过归纳来完成。 步骤1：在锐角中找出一个角，使其正弦值为1/2，当然是30度。 第二步：引导30度到第四象限，可以是-30度，也可以是360度负30度。 第三步：将第二步中的角度加上360度的整数倍。 。 如果要诱导到第二象限，就用180度减即可； 如果你想诱导到第三象限，只需使用180度+即可。

6、归纳公式公式“奇数到偶数不变，符号取决于象限”的正确性可以用“和差角公式”来验证，sin(π/2-x)=sin(π/ 2)cosx-cos(π /2)sinx=cosx。 辅助角公式与单位圆结合，用量积的定义来理解，acosx+bsinx=(a,b)·(cosx,sinx)，非常有利于学生进一步理解所学知识。 同时我们也不能不看到，原有的思想、方法、公式可能解决的问题是不可替代的。

7.深入思考三角函数的图像和性质

1、三角函数图形的制作方法与其他函数图形的制作方法相同。 基本步骤应该是：

(1)确定函数域和取值范围；

（2）研究单调性、奇偶性等性质；

(3) 获取关键点列表来画点；

(4)结合函数的变化速度和变化趋势画一条线；

2、与其他函数不同的是周期性。 最小正周期与起点位置无关；

3、三角函数线是三角函数的几何定义。 它将三角函数的值准确地表示为有向线段的数量，为精确的点绘制提供了保证；

4、由于图像本身就是函数定义的一种形式，所以对函数图像的研究非常重要，函数的性质都写在函数的图像上，所以不需要付费过于关注属性是什么以及它们分为多少项。 相反，学生应该学会理解函数的图像语言，并能够利用函数的图像来解决问题；

5、所谓深入思考，就是了解函数=Asin(wx+q)+b中每个参数对函数图像和性质的影响。 这应该与其他功能进行比较来研究；

6.重新思考正弦和余弦函数的图像和性质

(1)单调区间的长度为最小正周期长度的一半，单调区间的两个端点为函数达到最大值的点；

(2) 函数图像与x轴(平衡位置)的交点为其对称中心，通过垂直于x轴的最大值或最小值点的直线(平衡位置为) 是它们的对称轴。 相邻对称中心或两个对称轴之间的距离应为周期的一半；

(3) 两个函数图像的形状相同，但在坐标系中的位置不同。 它们的左右位置之差为周期的1/4；

(4) 对于函数y=Asin(wx+q)+b或y=Acos(wx+q)+b，上述三项只需稍加修改即可。

8. 平移和缩放变换的扩展

有很多同学对翻译和扩展变换感到困惑，但又不知道为什么……这里提出几个问题，供各位朋友共同思考。 您在教学时研究过它们吗？

1.平移公式的理解：“左加右减，上下加减”……左边是x轴的负半轴，为什么要加呢？ 右边是x轴的正半轴，为什么要减去呢？ 向上 是 y 轴的正半轴。 如果加上的话就更容易理解了。 它与y轴的负半轴是一样的。

2、对于左右平移以及横坐标的伸缩变换，如果顺序颠倒，可能会导致平移量不一致。 为什么是这样？

3. 平移和缩放变换推广到一般情况应该是什么样子？ 关键点是什么？

4、左右、上下平移变换与沿某个向量的平移有什么关系？

5. 函数平移和曲线平移有什么区别吗？

6、如何区分平移函数的图像和坐标变换的图像？ 各自的优点是什么？

（1）平移公式的理解：“左加右减，加减”……左边是x轴的负半轴，为什么要加呢？ 右边是x轴的正半轴，为什么要减去呢？ 上半部分是y轴的正半轴，相加起来更容易理解，下半部分是y轴的负半轴，是同一个东西。

问题其实是这样的：向左移动，每个点的横坐标都是递减的，横坐标要减去移动量。 但是，您必须将函数公式 y=f(x) 更改为 x=g(y) 的形式才能完成。 例如：如果将函数图像向左平移2个单位，则函数公式x=g(y)应变为：x=g(y)-2。 这个公式变形后就变成：y=f(x+2)。

还有什么需要我说的吗？

（2）对于左右平移以及横坐标的伸缩变换，如果顺序颠倒，可能会导致平移量不一致。 为什么是这样？

问题 1 的答案：将函数 y=f(x) 变换为 x=g(y)。 如果向右平移一个单位，就变成x=g(y)+a，然后拉伸到原来大小的b倍。 ，则变为x=b[g(y)+a]，解为：y=f[(1/b)xa]； 如果先将横坐标扩大到原值的b倍，则变为x=bg(x )，再向右平移一个单位，则变为x=bg(y)+a，解为： y= f[1/b(xa)]。 显然得到的两个函数表达式是不同的......

7. 如果平移和缩放变换扩展到一般情况应该是什么样子？ 关键点是什么？

(1) 如果将函数y=f(x)的图像向左平移一个单位，然后将每个点的横坐标改为原值的b倍，则所得结果对应的函数解析式图像为：y=f(bx+a)；

(2) 如果将函数 y=f(x) 的图像中各点的横坐标改为原来的 b 倍，然后将图像向左平移一个单位，则该函数对应的解析式结果图像是： y= f[b(x+a)];

仔细分析，各点的左右平移以及横坐标的伸缩都是针对自变量x，只对x进行相应处理。

8. 左右、上下平移变换与沿某个向量的平移有何关系？

左右平移是向量的横坐标，上下平移是向量的纵坐标，横坐标和纵坐标的符号代表平移的方向。 目标是一样的，只是路径不同。

9. 函数的平移和曲线的平移有什么区别吗？

函数本身是一个方程，因此函数图像是一条曲线，因此可以在函数中直接使用曲线的平移方法。 不过函数图像平移的公式“左加右减”不能直接用在曲线的平移中……原因从上面应该就知道了。

10、如何区分平移函数的图像和坐标变换的图像？ 各自的优点是什么？

两者都能完成同样的事情，就是简化我们要研究的曲线的函数表达式或者方程，优点也类似。 各自的优点可以通过例子来了解，就不赘述了。

9. 和角、差角公式推导指南

1.cos(AB)

2.cos(A+B)

3. 罪(AB)

4. 罪(A+B)

5.棕褐色(AB)

6.tan(A+B)

7.sin2A

8.cos2A

9.tan2A

10.

11.(sinA)^2

12. (cosA)^2

13.asinA+bcosA

14.tanA+tanB

15. 用 tanA 代表 sin2A、cos2A 和 tan2A。

16.……

上述公式可以连续三天每天推导三次。 问题能解决，就能获得积分……

请注意，这是推导，而不是背公式！

10.双角余弦公式的变形应用

公式：cos2A=(cosA)^2-(sinA)^2=1-2(sinA)^2=2(cosA)^2-1

公式变形：(sinA)^2=1/2(1-cos2A)； (cosA)^2=1/2(1+cos2A)

上述公式和正弦双角公式的变换统称为“约简幂公式”，它对于将三角函数公式简化为Asin(wx+b)的形式起到了非常重要的作用。

11.解三角形的几个关键点

1、三角形本身是已知条件： （1）内角和定理； (2)边、角的尺寸关系；

2、正弦、余弦定理：应用时注意解的选择；

3、面积公式：注意利用内切圆半径时将三角形一分为三的方法，并学习推导螺旋线公式；

4、三角形的重心、内心、外心、重心；

概括：

1.学习线索

三角函数与其他函数相同。 学习步骤是：

(1) 定义； (2) 定义域； (3) 图片； (4) 财产；

但它也有自己的特点，比如周期性、对称性等，所以要适应上面的步骤来添加：

(1)全等角公式； (2)归纳公式； (3)两角的和差公式； (4) 多角公式……；

那么在哪里添加呢？ 如何添加呢？

2.学习重点

回答上面的问题，这些公式可以直接从定义中得到，可以看作是定义的扩展。 教学时，教学应紧紧围绕三角函数的定义进行。 因此，三角函数教学的重点是三角函数的定义。

3. 学习技巧

三角函数的难点在于三角变换，所以三角变换的技巧就是学习三角函数的技巧。 一般来说，可以从三个方面来考虑：

（1）从角度思考：用已知的角度来代表未知的角度，课本上的例子和练习都是可渗透的；

（2）考虑函数的名称：注意弦与正切的相互变换，正弦与余弦的相互变换；

(3)考虑公式的结构：公式的每一个变形都是一个很好的三角问题。 只有掌握了公式的所有变形，才能成功应用。 例如：tanB+tanC=？ 大多数同学不知道，尤其当B+C是特殊角时，它完成了正切和与正切积的转换。

三角函数公式全集

锐角三角函数公式

sin α=∠α 的对边/斜边

cos α = ∠α 的邻边/斜边

tan α=∠α的对边/∠α的邻边

cot α = ∠α 的邻边/∠α 的对边

双角公式

Sin2A=2SinA?CosA

Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1

tan2A=(2tanA)/(1-tanA^2)

（注：SinA^2是sinA的平方，sin2(A)）

三角公式

sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)

cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)

tan3a = tan a · tan(π/3+a) · tan(π/3-a)

三角公式推导

罪3a

=sin(2a+a)

=+

辅助角公式

Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中

正弦=B/(A^2+B^2)^(1/2)

成本=A/(A^2+B^2)^(1/2)

正切=B/A

Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B

递减幂公式

sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=(2α)/2

cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=(2α)/2

tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))

推导公式

tanα+cotα=2/sin2α

tanα-cotα=-2cot2α

1+cos2α=2cos^2α

1-cos2α=2sin^2α

1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2

=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina

=3sina-4sin³a

cos3a

=cos(2a+a)

=-

=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa

=4cos³a-3cosa

sin3a=3sina-4sin³a

=4sina(3/4-sin²a)

=4sina[(√3/2)²-sin²a]

=4sina(sin²60°-sin²a)

=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)

=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]

=(60°+a)sin(60°-a)

cos3a=4cos³a-3cosa

=4cosa(cos²a-3/4)

=4cosa[cos²a-(√3/2)²]

=4cosa(cos²a-cos²30°)

=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)

=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2] }

=-(a+30°)sin(a-30°)

=-[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]

=-(60°-a)[-cos(60°+a)]

=(60°-a)cos(60°+a)

比较上面两个公式，我们可以得到

tan3a=(60°-a)tan(60°+a)

半角公式

tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA)；

cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA。

sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2

cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2

tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))

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三角和

sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ

cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ

tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)

两个角的和与差

cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

和差积

sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]

sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]

cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]

cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]

tanA+tanB=sin(A+B)/=tan(A+B)(1-)

tanA-tanB=sin(AB)/=tan(AB)(1+)

产品之和与差

sinαsinβ = [cos(α-β)-cos(α+β)] /2

cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2

sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2

余弦αsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/2

归纳公式

sin(-α) = -sinα

cos(-α) = cosα

tan (—a)=-tanα

sin(π/2-α) = cosα

cos(π/2-α) = sinα

sin(π/2+α) = cosα

cos(π/2+α) = -sinα

sin(π-α) = sinα

cos(π-α) = -cosα

sin(π+α) = -sinα

cos(π+α) = -cosα

tanA=sinA/cosA

tan(π/2+α)=-cotα

tan(π/2-α)=cotα

tan(π-α)=-tanα

tan(π+α)=tanα

记忆归纳公式的技巧：奇数变偶不变，看象限有符号

万能公式

sinα=2tan(α/2)/[1+tan^(α/2)]

cosα=[1-tan^(α/2)]/1+tan^(α/2)]

tanα=2tan(α/2)/[1-tan^(α/2)]

其他公式

(1)(sinα)^2+(cosα)^2=1

(2)1+(tanα)^2=(secα)^2

(3)1+(cotα)^2=(cscα)^2

要证明以下两个方程，只需将第一个方程左右除以(sinα)^2，将第二个方程除以(cosα)^2即可。

(4) 对于任意非直角三角形，总有

tanA+tanB+tanC=

证书：

A+B=π-C

tan(A+B)=tan(π-C)

(tanA+tanB)/(1-)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)

有组织且可用

tanA+tanB+tanC=

获得认证

还可以证明，当x+y+z=nπ(n∈Z)时，这个关系也成立

由 tanA+tanB+tanC= 可以得出以下结论

(5)++=1

(6)余量(A/2)+余量(B/2)+余量(C/2)=余量(A/2)余量(B/2)余量(C/2)

(7)(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2=1-

(8)(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=2+

(9)sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1) /n]=0

cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n] =0 且

sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2

(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0

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