利用函数创建矩阵的基本矩阵函数

2024-01-09 01:01:08 阅读 0

创建矩阵有以下规则：

A。矩阵元素必须在“[ ]”内；

b. 矩阵的行元素之间用空格（或“,”）分隔；

C。矩阵的行由“;”分隔（或回车）；

d. 矩阵的元素可以是值、变量、表达式或函数；

e. 矩阵的大小不需要提前定义。

2. 矩阵的创建：

1.直接输入法

创建矩阵最简单的方法是直接从键盘输入矩阵的元素。输入法遵循上述规则。创建向量时可以使用冒号表达式。冒号表达式可以生成行向量。一般格式为：e1:e2:e3，其中e1为初始值，e2为步长，e3为终止值。还可以使用函数生成行向量，其调用格式为：(a,b,n)，其中a和b是生成向量的第一个和最后一个元素，n是元素总数。

2. 使用函数创建矩阵

基本矩阵函数如下：

（1）ones()函数：生成全1的矩阵，ones(n)：生成n*n维全1矩阵，ones(m,n)：生成m*n维全1矩阵;

(2)zeros()函数：生成全零的矩阵；

(3) rand()函数：生成在(0, 1)区间均匀分布的随机数组；

（4）eye()函数：生成单位矩阵；

(5) randn()函数：生成均值为0、方差为1的标准正态分布随机矩阵。

3. 使用文件创建矩阵

当矩阵规模较大或者是经常使用的数据矩阵时，可以将矩阵保存为文件，需要时可以使用load命令直接将文件调入工作环境中使用。同时，可以使用命令重新排列传输的矩阵。 (A,m,n)，在矩阵总元素不变的前提下，将矩阵A重新排列成m*n的二维矩阵。

2. 矩阵的简单运算

1.获取矩阵元素

矩阵的元素可以通过下标（列和列索引）引用，例如 (m,n)。

矩阵元素也可以通过其序列号来引用。

矩阵元素的序号是对应元素在内存中的排列顺序。

在中，矩阵元素按列存储。

序号（Index）与下标（）一一对应。以m*n矩阵A为例，矩阵元素A(i,j)的序号为(j-1)*m+i。

利用sum函数也可以得到它们的相互换算关系。

2.矩阵分裂

使用冒号表达式获取子矩阵：

(1) A(:,j)表示取A矩阵第j列的所有元素； A(i,:)表示取A矩阵第i行的所有元素； A(i,j)表示取第i行，j列的元素。

(2) A(i:i+m,:)表示取A矩阵第i~i+m行的所有元素； A(:,k:k+m)表示取A矩阵的k~k+m列。所有元素，A(i:i+m,k:k+m)表示取A矩阵第i~i+m行、第k~k+m列的所有元素。此外，还可以使用通用向量和结束运算符来表示矩阵下标以获得子矩阵。 end表示某个维度的结束元素下标。

使用空矩阵删除矩阵的元素：

中，将[]定义为空矩阵。将空矩阵赋给变量 X 的语句是 X=[]。请注意，X=[] 与clear 不同

3、特殊矩阵

(1)魔方矩阵魔方矩阵有一个有趣的性质。每行、每列和两条对角线上的元素之和相等。对于一个n阶幻方矩阵，它的元素总共由n2个整数1,2,3,...,n2组成。提供了求魔方矩阵的函数magic(n)，其作用是生成n阶魔方矩阵。

(2) 矩阵 ()矩阵的最后一列全为1，倒数第二列是指定向量，其他列是后续列与倒数第二列的点积。范德蒙矩阵可以从指定的向量生成。在中，函数 (V) 生成以向量 V 作为基向量的矩阵。

(3)希尔伯特矩阵中，生成希尔伯特矩阵的函数是hilb(n)。由于原始数据的微小扰动，使用一般的反演方法可能会产生不可靠的计算结果。在中，有一个函数 (n) 专门求希尔伯特矩阵的逆矩阵。它的作用是求n阶希尔伯特矩阵的逆矩阵。

(4) 矩阵矩阵除第一行第一列外，其余元素与左上角元素相同。生成矩阵的函数是(x,y)，它生成一个以x为第一列，y为第一行的矩阵。这里 x 和 y 都是向量，并且它们的长度不必相等。 (x) 使用向量 x 生成对称矩阵。

(5) 从伴随矩阵生成伴随矩阵的函数为(p)，其中p是多项式系数向量，高阶幂系数排在前面，低阶幂系数排在最后。

(6) 帕斯卡矩阵我们知道，二次项(x+y)n的展开式系数随着n的增加形成一个三角表，称为杨辉三角形。由杨辉三角表组成的矩阵称为()矩阵。函数 (n) 生成 n 阶帕斯卡矩阵。

3. 矩阵运算

1. 算术运算

基本算术运算有：+（加法）、-（减法）、*（乘法）、/（右除）、\（左除）、^（幂）、'（转置）。运算是在矩阵意义上进行的，对单个数据的算术运算只是一种特殊情况。

(1) 矩阵加法和减法运算假设有两个矩阵A和B，那么可以通过A+B和AB来实现矩阵加法和减法运算。运算规则为：如果A、B矩阵的维数相同，则可以进行矩阵加减运算，将A、B矩阵对应的元素进行加减。如果A和B的维数不同，就会给出错误信息，提示用户两个矩阵的维数不匹配。

(2)矩阵乘法假设有两个矩阵A和B。如果A是m*n矩阵，B是n*p矩阵，则C=A*B是m*p矩阵。

(3) 矩阵除法中，有两种矩阵除法运算：\和/，分别表示左除和右除。如果A矩阵是非奇异方阵，则可以实现A\B和B/A运算。 A\B相当于A的B矩阵的左逆乘，即inv(A)*B，B/A相当于A矩阵的B矩阵的右乘逆，即B*inv(A)。对于涉及标量的运算，两次除法运算的结果是相同的。对于矩阵来说，左除和右除代表了除数矩阵和被除数矩阵的两种不同关系。一般来说，A\B≠B/A。

(4) 矩阵求幂矩阵的求幂运算可以表示为A^x，要求A为方阵，x为标量。

(5) 矩阵的转置交换实数矩阵的行和列。对于复矩阵，共轭转置是一个特殊的算子。 '共轭不转置（见点运算）；

(6) 点运算在中，有一种特殊的运算。因为它的运算符是在相关算术运算符前面加一个点，所以称为点运算。点运算符为 .*、./、.\ 和 .^。对两个矩阵进行点运算，就是对它们对应的元素进行相关运算，这要求两个矩阵的维数参数相同。

2. 关系运算

提供了六个关系运算符：=（大于或等于）、==（等于）、~=（不等于）。关系运算符的运算规则为：

(1)当两个比较量为标量时，直接比较两个数的大小。如果关系成立，则关系式的结果为1，否则为0；

(2) 当比较涉及的量为两个维度相同的矩阵时，根据标量关系运算规则对两个矩阵中相同位置的元素进行一一比较，元素比较结果为给予。关系运算的最终结果是一个与原矩阵同维的矩阵，其元素由0或1组成；

(3)当参与比较的对象之一是标量，另一个是矩阵时，按照标量关系运算规则将标量和矩阵的每个元素一一进行比较，元素比较结果为给予。关系运算的最终结果是一个与原矩阵维度相同的矩阵，其元素由0或1组成。

3. 逻辑运算

提供了三个逻辑运算符：&（与）、| （或）和〜（不）。逻辑运算的算法为：

(1)逻辑运算中，如果确认非零元素为真，则用1表示，如果零元素为假，则用0表示；

(2) 假设逻辑运算涉及两个标量a和b。那么，当a&b a和b均非0时，运算结果为1，否则为0。只要a|ba和b其中之一非0，运算结果为1。 ~a 当a为0，运算结果为1；当a非零时，运算结果为0。

(3) 如果涉及两个相同维度的矩阵进行逻辑运算，则按照标量规则对矩阵中相同位置的元素进行一一运算。最终运算结果是一个与原矩阵同维的矩阵，其元素由1或0组成；

(4) 如果逻辑运算其中一个是标量，另一个是矩阵，则标量与矩阵中各元素之间将按照标量规则一一进行运算。最终运算结果是一个与矩阵同维的矩阵，其元素由1或0组成；

(5)逻辑非是一元运算符，也遵守矩阵运算规则；

(6)算术运算、关系运算和逻辑运算中，算术运算的优先级最高，逻辑运算的优先级最低。

4. 矩阵分析

1. 对角阵列

(1) 对角矩阵对角线上只有非零元素的矩阵称为对角矩阵。对角线上元素相等的对角矩阵称为数量矩阵。对角线上所有元素都为 1 的对角矩阵。角矩阵称为单位矩阵。

matlab取矩阵中的元素_matlab取矩阵中的元素_matlab取矩阵的元素

(1)提取矩阵的对角线元素。设 A 为 m*n 矩阵。 diag(A) 函数用于提取矩阵 A 的主对角线元素，生成具有 min(m,n) 个元素的列向量。 diag(A)函数还有另一种形式diag(A,k)，其作用是提取第k条对角线的元素。

(2)构造对角矩阵。令 V 为具有 m 个元素的向量。 diag(V) 会产生一个 m*m 对角矩阵，其主对角线元素是向量 V 的元素。 diag(V) 函数还有另一种形式 diag(V,k)，其功能是生成一个 n* n(n=m+k)个对角矩阵，第m个对角线的元素是向量V元素。

2、三角阵

三角矩阵又分为上三角矩阵和下三角矩阵。所谓上三角矩阵，就是矩阵对角线以下元素全为0的矩阵，而下三角矩阵，就是对角线以上元素全为0的矩阵。 0。

(1) 上三角矩阵求矩阵A的上三角矩阵的函数是triu(A)。 triu(A)函数还有另一种形式triu(A,k)，其功能是查找矩阵A的第k条对角线上方的元素。

(2) 下三角矩阵在中。提取矩阵 A 的下三角矩阵的函数是 tril(A) 和 tril(A,k)。它们的用法与函数 triu(A) 和 triu(A,k) 相同，用于提取上三角矩阵。 ) 完全相同。

3.矩阵的转置和旋转

(1)矩阵的转置运算符是单个撇号(')。

（2）矩阵的旋转使用函数rot90(A,k)将矩阵A旋转k乘90o。当k为1时，可省略。

4. 矩阵翻转

左右翻转矩阵就是交换原矩阵的第一列和最后一列，交换第二列和倒数第二列，……，以此类推。将矩阵A左右翻转的函数为(A)，将矩阵A上下翻转的函数为(A)。

5. 矩阵的逆和伪逆

(1)矩阵的逆对于方阵A，若存在同阶方阵B，使得：AB=BA=I（I为单位矩阵），则B称为A的逆矩阵当然，A也是B的逆矩阵。要求方阵 A 的逆矩阵，可以调用函数 inv(A)。

(2) 矩阵的伪逆如果矩阵 A 不是方阵，或者 A 是非满秩方阵，则矩阵 A 没有逆矩阵，而是有一个与转置同类型的矩阵 B可以求出A的矩阵A'，使得： ABA=A, BAB=B 此时矩阵B称为矩阵A的伪逆矩阵，也称为广义逆矩阵。在中，求矩阵伪逆的函数是 pinv(A)。

6. 方阵的行列式

将方阵视为行列式，并根据行列式的规则对其求值。这个值称为矩阵对应的行列式的值。在中，求方阵 A 对应的行列式值的函数是 det(A)。

7. 矩阵的秩和迹

(1)矩阵的秩与矩阵线性无关的行数和列数称为矩阵的秩。在中，求矩阵秩的函数是rank(A)。

（2）矩阵的迹矩阵的迹等于矩阵对角线元素之和，也等于矩阵特征值之和。在中，求矩阵迹的函数是trace(A)。

8.向量和矩阵的范数

矩阵或向量的范数在某种意义上是矩阵或向量长度的度量。定义规范的方法有很多种。不同的定义有不同的标准值。

(1) 常用的三种向量范数及其计算函数在中。求向量范数的函数是：

A。 norm(V) 或norm(V,2)：计算向量V的2-范数；

b. norm(V,1)：计算向量V的1-范数；

C。 norm(V,inf)：计算向量V的∞-范数。

(2)矩阵范数及其计算函数提供求三种矩阵范数的函数。函数调用格式与求向量范数的函数完全相同。

(3) 矩阵的条件数为in，计算矩阵A的三个条件数的函数为：

A。 cond(A,1) 计算 A 的 1-范数下的条件数；

b. cond(A) 或 cond(A,2) 计算 A 的 2-范数下的条件数；

C。 cond(A,inf) 计算 A 的 ∞ 范数下的条件数。

9.矩阵的特征值和特征向量

中，计算矩阵A的特征值和特征向量的函数是eig(A)。常用的调用格式有以下三种：

(1) E=eig(A)：求矩阵A的所有特征值，形成向量E。

（2）[V,D]=eig(A)：求矩阵A的所有特征值，构成对角矩阵D，求A的特征向量，构成V的列向量。

(3) [V,D]=eig(A,'')：与第二种格式类似，但第二种格式中，首先对A进行类似的变换，然后得到矩阵A的特征值和特征向量找到了，而格式3直接求矩阵A的特征值和特征向量。

5. 字符串

在中，字符串是用单个撇号括起来的字符序列。将字符串视为行向量，每个元素对应一个字符，其识别方法与数值向量相同。还可以创建多行字符串矩阵。字符串以 ASCII 代码存储。使用abs和函数都可以获取字符串矩阵对应的ASCII码数值矩阵。相反，char函数可以将ASCII码矩阵转换为字符串矩阵。另一个与字符串相关的重要函数是eval，其调用格式为： (t) 其中t是字符串。其作用是将字符串的内容作为对应的语句执行。

6.其他

查看矩阵spy(A)非零元素的分布；

第二部分矩阵的应用

1.稀疏矩阵

对于n阶矩阵，通常需要n2的存储空间。当n很大时，矩阵运算会占用大量的内存空间和运算时间。许多实际问题中遇到的大规模矩阵通常包含大量0元素，这样的矩阵称为稀疏矩阵。支持稀疏矩阵，仅存储矩阵的非零元素。由于不存储或操作那些“0”元素，因此节省了存储空间和计算时间。计算的复杂度和成本仅取决于稀疏矩阵的非零元素数量，而稀疏矩阵的非零元素数量又取决于矩阵的存储空间和计算时间。在计算时间上有很大的优势。

矩阵的密度定义为矩阵中非零元素的数量除以矩阵中元素的总数。对于低密度矩阵，稀疏存储是一个不错的选择。

1. 稀疏矩阵的创建

(1) 将完全存储模式转换为稀疏存储模式函数A=(S)将矩阵S转换为稀疏存储模式下的矩阵A。当矩阵S稀疏存储时，函数调用等价于A=S。该函数还有其他调用格式： (m,n)：生成一个 m*n 的稀疏矩阵，所有元素均为 0。 (u,v,S)--：u,v,S 是 3 个等长向量。 S为要建立的稀疏矩阵的非零元素。 u(i)和v(i)分别是S(i)的行下标和列下标。此函数创建 max(u) 行和 max(v) 列。以 S 作为稀疏元素的稀疏矩阵。此外，还有一些与稀疏矩阵运算相关的函数。 full(A)：返回稀疏存储矩阵A对应的全存储矩阵。

(2) 直接创建稀疏矩阵S=(i,j,s,m,n)，其中i和j分别为矩阵非零元素的行和列索引向量，s为非零元素value向量，m，n分别是矩阵的行数和列数。

(3) 使用 load 和函数从包含一系列下标和非零元素的文本文件输入稀疏矩阵，从文件创建稀疏矩阵。示例：假设文本文件T.txt 有三列内容。第一列是一些行下标，第二列是列下标，第三列是非零元素值。加载 T.txt S=(T)。

(4) 创建稀疏带状矩阵S=(B,d,m,n)，其中m和n分别是矩阵的行数和列数； d是长度为p的整数向量，指定矩阵S的对角线位置； B 是一个全元素矩阵，用于给出 S 对角位置的元素。行数为 min(m,n)，列数为 p。

(5)其他稀疏矩阵创建函数

S=斯派(m,n)

S=speye(size(A)) % 与A大小相同

S=buchy % 内置稀疏矩阵（邻接矩阵）

ETC。

2. 稀疏矩阵运算

稀疏存储矩阵只是矩阵的一种不同的存储方式。其运算规则与普通矩阵相同，可以直接参与运算。因此，满矩阵的相同运算和函数可以用于稀疏矩阵。结果是稀疏矩阵还是满矩阵取决于运算符或函数。当运算涉及的对象不全是稀疏存储矩阵时，结果一般是全存储形式。

3.其他

(1)非零元素信息