变分微积分中的一个重要结论是欧拉-拉格朗日方程，简称EL方程，它是泛函极值的必要条件。 这个重要的定理困扰了我很长时间，因为它的推导过程并不那么容易。 明白了，这就涉及到泛函的概念了。 人们把任意集合M到实数域R或复数域C的映射称为泛函。
关于泛函最著名的问题是最陡下降线问题。 伯努利在1696年提出了这个问题：当一个质点在重力作用下从一个给定点运动到另一个不垂直于它下方的点时，如果不考虑摩擦力，会出现什么问题呢？ 哪条曲线下滑所需的时间最短？ 后来，牛顿、莱布尼茨、洛比达和雅各伯努利四位数学家解决了这个问题。 这个问题促使了数学的一个新分支的诞生，即泛函分析。 我们来看看这个著名的问题。 它是一个函数极值问题，但与以往的函数极值问题不同。 “什么样的曲线”是自变量，时间是因变量，其自变量是函数，而通常函数的自变量只能属于复数域，所以新的函数关系称为泛函，而变分微积分是关于寻找泛函的极值。
欧拉方程给出了函数极值存在的必要条件，帮助我们找到当函数获得极值时自变量取什么函数。 现在我用最数学的方式来推导欧拉方程。 这个证明过程的基础是数学分析。
给定一个区间 J=[t_{0},t_{1}]\ R^{1}，
给定一个开域 \Omega \ R^{N}，这意味着 \Omega 是 N 维实数空间中的一个区域。
给定一个连续可微函数 L=L(x,u,p)，您可以看到这是一个三元函数，因此可以写为
L\in C^{1}(J\times\Omega\times R^{N},R^{1}) ，其中 C^{1} 函数表示一阶可微函数。
给定两个固定点 P_{0},P_{1} \in \Omega，令
M=\left\{ u\in C^1(J,\Omega) |u(t_i)=P_i,i=0,1\right\} ，这相当于给函数 u(t) 一个极限,
这样u(t_0)=P_0，u(t_1)=P_1，可以看出函数u是一个向量值函数。
M 上的泛函为 I(u)=\int_{J}^{}L(t,u(t),u'(t))dt
现在让我们找出最小值的必要条件。 首先明确最小值的定义。 在数学分析中，我们学会了\-\delta语言来描述极限。
所以这里会使用\-\delta语言来描述这个最小值。
u^* 是 u^* 的邻域 U 满足 I(u^*)\leq I(u) , \ u\in M\cap U 时的最小值点
也就是说，对于该域中的任意函数u，都有I(u^*)\leq I(u)，
我们添加一个实数变量 \ 并进一步编写：
\ \ \在 C_{0}^{1}（J,R^N） 中，0">\ \=\(\)>0 ，当 0 时
